Un poliedro noble es uno que es isoédrico (todas las caras son iguales) e isogonal (todos los vértices son iguales). Primero fueron estudiados en profundidad por Hess y Bruckner a finales del siglo XIX, y más tarde por Grünbaum .
Clases de poliedros nobles
Hay cuatro clases principales de poliedros nobles:
- Los poliedros regulares son nobles.
- Tetraedros disfenoides . Estos y los sólidos platónicos son los únicos poliedros nobles convexos.
- Corona poliedros o estefanoides . Una serie infinita de toroides.
- Una variedad de ejemplos diversos . No se sabe si hay un número finito y, de ser así, cuántos podrían quedar por descubrir.
Si permitimos algunas de las construcciones más extrañas de Grünbaum como poliedros, entonces tenemos dos series infinitas más de toroides:
- Guirnalda poliedros . Estos tienen caras triangulares en pares coplanares que comparten una arista.
- Poliedros V-enfrentó . Estos tienen vértices en pares coincidentes y caras degeneradas.
Dualidad de poliedros nobles
Podemos distinguir entre formas estructurales duales (topologías) por un lado, y arreglos geométricos duales cuando se intercambian alrededor de una esfera concéntrica, por el otro. Cuando no se hace la distinción a continuación, el término "dual" cubre ambos tipos.
El dual de un poliedro noble también es noble. Muchos también son auto-duales:
- Los nueve poliedros regulares forman pares duales, siendo el tetraedro auto-dual.
- Los tetraedros difenoides son todos topológicamente idénticos. Geométricamente, vienen en pares duales: uno alargado y otro aplastado correspondientemente.
- Un poliedro de corona es topológicamente auto-dual. No parece que se sepa si existe algún ejemplo geométricamente auto-dual.
- La corona y los poliedros con caras en V son duales entre sí.
Referencias
- Grünbaum , B .; Poliedros con caras huecas, Proc. Conf. OTAN-ASI sobre politopos: abstracto, convexo y computacional, Toronto 1983, Ed. Bisztriczky, T. et al., Kluwer Academic (1994), págs. 43-70.
- Grünbaum , B .; ¿Son tus poliedros iguales a mis poliedros? Geometría discreta y computacional: The Goodman-Pollack Festschrift. B. Aronov, S. Basu, J. Pach y Sharir, M., eds. Springer, Nueva York 2003, págs. 461–488.