En la teoría de conjuntos axiomáticos , una función f : Ord → Ord se llama normal (o una función normal ) si y solo si es continua (con respecto a la topología de orden ) y estrictamente monotónica creciente . Esto es equivalente a las siguientes dos condiciones:
- Para cada límite ordinal γ (es decir, γ no es cero ni sucesor), f ( γ ) = sup { f ( ν ): ν < γ }.
- Para todos los ordinales α < β , f ( α ) < f ( β ).
Ejemplos de
Una función normal simple viene dada por f ( α ) = 1 + α (ver aritmética ordinal ). Pero f ( α ) = α + 1 no es normal, no es continuo en ningún límite ordinal. Si β es un ordinal fijo, entonces las funciones f ( α ) = β + α , f ( α ) = β × α (para β ≥ 1), yf ( α ) = β α (para β ≥ 2) son todas normal.
Los números aleph dan ejemplos más importantes de funciones normales. que conectan números ordinales y cardinales , y por los números beth .
Propiedades
Si f es normal, entonces para cualquier α ordinal ,
- f ( α ) ≥ α . [1]
Prueba : Si no es así, elija γ mínimo tal que f ( γ ) < γ . Dado que f es estrictamente monótona creciente, f ( f ( γ )) < f ( γ ), lo que contradice la minimidad de γ .
Además, para cualquier conjunto S no vacío de ordinales, tenemos
- f (sup S ) = sup f ( S ).
Prueba : "≥" se deriva de la monotonicidad de f y la definición del supremo . Para "≤", establezca δ = sup S y considere tres casos:
- si δ = 0, entonces S = {0} y sup f ( S ) = f (0);
- si δ = ν + 1 es un sucesor , entonces existe s en S con ν < s , de modo que δ ≤ s . Por lo tanto, f ( δ ) ≤ f ( s ), lo que implica f (δ) ≤ sup f ( S );
- si δ es un límite distinto de cero, elija cualquier ν < δ , y una s en S tal que ν < s (posible ya que δ = sup S ). Por lo tanto, f ( ν ) < f ( s ) de modo que f ( ν ) f ( S ), produciendo f ( δ ) = sup { f (ν): ν < δ } ≤ sup f ( S ), como se desee .
Toda función normal f tiene puntos fijos arbitrariamente grandes; vea el lema de coma fija para funciones normales para una prueba. Se puede crear una función normal f ' : Ord → Ord, llamada derivada de f , tal que f' ( α ) es el α -ésimo punto fijo de f . [2]
Notas
- ^ Johnstone 1987 , ejercicio 6.9, p. 77
- ^ Johnstone 1987 , ejercicio 6.9, p. 77
Referencias
- Johnstone, Peter (1987), Notas sobre lógica y teoría de conjuntos , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-33692-5.