Geometría algebraica numérica
La geometría algebraica numérica es un campo de las matemáticas computacionales , particularmente la geometría algebraica computacional , que utiliza métodos de análisis numérico para estudiar y manipular las soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas . [1] [2] [3]
El método computacional principal utilizado en geometría algebraica numérica es la continuación de homotopía, en la que se forma una homotopía entre dos sistemas polinomiales y las soluciones aisladas (puntos) de uno continúan en el otro. Ésta es una especificación del método más general de continuación numérica .
Vamos a representar las variables del sistema. Por abuso de la notación, y para facilitar el espectro de espacios ambientales sobre los que se puede resolver el sistema, no usamos la notación vectorial para . Lo mismo ocurre con los sistemas polinomiales y .
Notación canónica actual exige el sistema de arranque y el sistema de destino, es decir, el sistema para resolver, . [4] [5] Una homotopía muy común, la homotopía en línea recta, entre y es
En la homotopía anterior, uno comienza la variable de ruta en y continúa hacia . Otra opción común es correr de a . En principio, la elección es completamente arbitraria. En la práctica, con respecto a los métodos finales para calcular soluciones singulares utilizando la continuación de homotopía, el tiempo objetivo puede facilitar significativamente el análisis, por lo que aquí se toma esta perspectiva. [ cita requerida ]
Independientemente de la elección de las horas de inicio y de destino, debe formularse de tal manera que , y .
