La continuación numérica es un método para calcular soluciones aproximadas de un sistema de ecuaciones no lineales parametrizadas,
El parámetro suele ser un escalar real , y la solución un n -vector . Para un valor de parámetro fijo , mapea el espacio n euclidiano en sí mismo.
A menudo, el mapeo original es de un espacio de Banach en sí mismo, y el espacio n euclidiano es un espacio de Banach de dimensión finita.
Un estado estacionario , o punto fijo , de una familia parametrizada de flujos o mapas son de esta forma, y al discretizar las trayectorias de un flujo o iterar un mapa, las órbitas periódicas y las órbitas heteroclínicas también pueden plantearse como una solución de.
Otras formas
En algunos sistemas no lineales, los parámetros son explícitos. En otros están implícitos, y el sistema de ecuaciones no lineales está escrito
dónde es un vector n , y su imagenes un vector n-1 .
Esta formulación, sin un espacio de parámetros explícito, no suele ser adecuada para las formulaciones de los siguientes apartados, porque se refieren a sistemas dinámicos no lineales autónomos parametrizados de la forma:
Sin embargo, en un sistema algebraico no hay distinción entre incógnitas y los parámetros.
Movimientos periódicos
Un movimiento periódico es una curva cerrada en el espacio de fase. Es decir, por algún tiempo ,
El ejemplo de libro de texto de un movimiento periódico es el péndulo no amortiguado .
Si el espacio de fase es periódico en una o más coordenadas, digamos, con un vector [ aclaración necesaria ] , entonces hay un segundo tipo de movimientos periódicos definidos por
por cada entero .
El primer paso para escribir un sistema implícito para un movimiento periódico es mover el período desde las condiciones de contorno hasta la EDO :
El segundo paso es agregar una ecuación adicional, una restricción de fase , que se puede considerar como determinante del período. Esto es necesario porque cualquier solución del problema de valor límite anterior se puede desplazar en el tiempo en una cantidad arbitraria (el tiempo no aparece en las ecuaciones de definición; el sistema dinámico se llama autónomo).
Hay varias opciones para la restricción de fase. Si es una órbita periódica conocida en un valor de parámetro cerca , entonces, Poincaré usó
el cual establece que se encuentra en un plano ortogonal al vector tangente de la curva cerrada. Este plano se llama sección de Poincaré .
Para un problema general, una mejor restricción de fase es una restricción integral introducida por Eusebius Doedel, que elige la fase de modo que la distancia entre las órbitas conocidas y desconocidas se minimice:
Movimientos homoclínicos y heteroclínicos
Definiciones
Componente de solución
Un componente de solución del sistema no lineal es un conjunto de puntos que satisfacen y están conectados a la solución inicial por un camino de soluciones para cual y .
Continuación numérica
Una continuación numérica es un algoritmo que toma como entrada un sistema de ecuaciones no lineales parametrizadas y una solución inicial. , , y produce un conjunto de puntos en el componente de la solución. .
Punto regular
Un punto regular de es un punto en el que el jacobiano de es rango completo .
Cerca de un punto regular, el componente de la solución es una curva aislada que pasa por el punto regular (el teorema de la función implícita ). En la figura sobre el punto es un punto regular.
Punto singular
Un punto singular de es un punto en el que el jacobiano de F no es de rango completo.
Cerca de un punto singular, el componente de la solución puede no ser una curva aislada que pase por el punto regular. La estructura local está determinada por derivadas superiores de. En la figura de arriba, el punto donde se cruzan las dos curvas azules es un punto singular.
En componentes generales de la solución son curvas ramificadas . Los puntos de ramificación son puntos singulares. Encontrar las curvas solución que dejan un punto singular se denomina cambio de rama y utiliza técnicas de la teoría de la bifurcación ( teoría de la singularidad , teoría de la catástrofe ).
Para sistemas de dimensión finita (como se definió anteriormente), la descomposición de Lyapunov-Schmidt puede usarse para producir dos sistemas a los que se aplica el Teorema de la función implícita. La descomposición de Lyapunov-Schmidt utiliza la restricción del sistema al complemento del espacio nulo del jacobiano y el rango del jacobiano.
Si las columnas de la matriz son una base ortonormal para el espacio nulo de
y las columnas de la matriz son una base ortonormal para el espacio nulo izquierdo de , luego el sistema se puede reescribir como
dónde está en el complemento del espacio nulo de .
En la primera ecuación, que está parametrizada por el espacio nulo del jacobiano (), el jacobiano con respecto a no es singular. Entonces, el teorema de la función implícita establece que hay un mapeo tal que y . La segunda ecuación (con sustituido) se llama ecuación de bifurcación (aunque puede ser un sistema de ecuaciones).
La ecuación de bifurcación tiene una expansión de Taylor que carece de los términos constante y lineal. Al escalar las ecuaciones y el espacio nulo del jacobiano del sistema original, se puede encontrar un sistema con jacobiano no singular. El término constante en la serie de Taylor de la ecuación de bifurcación escalada se llama ecuación de bifurcación algebraica, y el teorema de la función implícita aplicado a las ecuaciones de bifurcación establece que para cada solución aislada de la ecuación de bifurcación algebraica hay una rama de soluciones del problema original que pasa por el punto singular.
Otro tipo de punto singular es una bifurcación de punto de inflexión , o bifurcación de nodo silla de montar , donde la dirección del parámetrose invierte a medida que se sigue la curva. La curva roja en la figura anterior ilustra un punto de inflexión.
Algoritmos particulares
Continuación de parámetros naturales
La mayoría de los métodos de solución de sistemas de ecuaciones no lineales son métodos iterativos. Para un valor de parámetro particular un mapeo se aplica repetidamente a una conjetura inicial . Si el método converge y es consistente, entonces en el límite la iteración se aproxima a una solución de.
La continuación de parámetros naturales es una adaptación muy simple del solucionador iterativo a un problema parametrizado. La solución a un valor de se utiliza como la suposición inicial para la solución en . Con suficientemente pequeña, la iteración aplicada a la conjetura inicial debería converger.
Una ventaja de la continuación de parámetros naturales es que utiliza el método de solución del problema como una caja negra. Todo lo que se requiere es que se dé una solución inicial (algunos solucionadores solían comenzar siempre con una suposición inicial fija). Ha habido mucho trabajo en el área de continuación a gran escala en la aplicación de algoritmos más sofisticados a los solucionadores de cajas negras (ver, por ejemplo, LOCA ).
Sin embargo, la continuación de los parámetros naturales falla en los puntos de inflexión, donde la rama de las soluciones gira. Entonces, para problemas con puntos de inflexión, se debe utilizar un método más sofisticado, como la continuación de pseudo-longitud de arco (ver más abajo).
Continuación lineal simple o por partes
La continuación simple o la continuación lineal por partes (Allgower y Georg) se basa en tres resultados básicos.
El primero es
Si F (x) mapea IR ^ n en IR ^ (n-1), hay un interpolante lineal único en un símplex (n-1) -dimensional que concuerda con los valores de la función en los vértices del símplex.
El segundo resultado es:
Se puede probar un símplex (n-1) -dimensional para determinar si el interpolante lineal único toma el valor 0 dentro del símplex.
Consulte el artículo sobre continuación lineal por partes para obtener más detalles.
Con estas dos operaciones, este algoritmo de continuación es fácil de establecer (aunque, por supuesto, una implementación eficiente requiere un enfoque más sofisticado. Ver [B1]). Se supone que se da un simplex inicial, a partir de una descomposición simplicial de referencia de. El simplex inicial debe tener al menos una cara que contenga un cero del interpolante lineal único en esa cara. A continuación, se prueban las otras caras del símplex y, por lo general, habrá una cara adicional con un cero interior. El simplex inicial se reemplaza luego por el simplex que se encuentra en cualquier cara que contiene cero, y el proceso se repite.
Referencias: Allgower y Georg [B1] proporcionan una descripción clara y nítida del algotihm.
Continuación de pseudo-arclength
Este método se basa en la observación de que la parametrización "ideal" de una curva es la longitud de arco. La pseudo-longitud de arco es una aproximación de la longitud de arco en el espacio tangente de la curva. El método de continuación natural modificado resultante da un paso en pseudo-longitud de arco (en lugar de). Se requiere que el solucionador iterativo encuentre un punto en la pseudo-longitud de arco dada, lo que requiere agregar una restricción adicional (la restricción de pseudo-longitud de arco) a la n por n + 1 jacobiano. Produce un jacobiano cuadrado, y si el tamaño del paso es suficientemente pequeño, el jacobiano modificado es de rango completo.
La continuación de pseudoarclength fue desarrollada independientemente por Edward Riks y Gerald Wempner para aplicaciones de elementos finitos a fines de la década de 1960, y publicada en revistas a principios de la década de 1970 por HB Keller. Una descripción detallada de estos primeros desarrollos se proporciona en el libro de texto de MA Crisfield: Nonlinear Finite Element Analysis of Solids and Structures, Vol 1: Basic Concepts, Wiley, 1991. Crisfield fue uno de los desarrolladores más activos de esta clase de métodos, que son ahora procedimientos estándar de los programas comerciales de elementos finitos no lineales.
El algoritmo es un método predictor-corrector. El paso de predicción encuentra el punto (en IR ^ (n + 1)) que es un pasoa lo largo del vector tangente en el puntero actual. El corrector suele ser el método de Newton, o alguna variante, para resolver el sistema no lineal
dónde es el vector tangente en . El jacobiano de este sistema es la matriz bordeada
En puntos regulares, donde el jacobiano sin modificar es de rango completo, el vector tangente se extiende por el espacio nulo de la fila superior de este nuevo jacobiano. Agregar el vector tangente como la última fila puede verse como la determinación del coeficiente del vector nulo en la solución general del sistema de Newton (solución particular más un múltiplo arbitrario del vector nulo).
Continuación de Gauss-Newton
Este método es una variante de la continuación de pseudo-longitud de arco. En lugar de usar la tangente en el punto inicial de la restricción de longitud de arco, se usa la tangente en la solución actual. Esto es equivalente a usar el pseudo-inverso del jacobiano en el método de Newton y permite realizar pasos más largos. [B17]
Continuación en más de un parámetro
El parámetro en los algoritmos descritos anteriormente es un escalar real. La mayoría de los problemas físicos y de diseño generalmente tienen más de un parámetro. La continuación de dimensiones superiores se refiere al caso en que es un k-vector.
Se aplica la misma terminología. Una solución regular es una solución en la que el jacobiano es de rango completo. Una solución singular es una solución en la que el jacobiano es menor que el rango completo.
Una solución regular se encuentra en una superficie k-dimensional, que puede parametrizarse mediante un punto en el espacio tangente (el espacio nulo del jacobiano). Esta es nuevamente una aplicación sencilla del Teorema de la función implícita.
Aplicaciones de las técnicas de continuación numérica
Las técnicas de continuación numérica han encontrado un gran grado de aceptación en el estudio de sistemas dinámicos caóticos y varios otros sistemas que pertenecen al ámbito de la teoría de catástrofes . La razón de tal uso proviene del hecho de que varios sistemas dinámicos no lineales se comportan de una manera determinista y predecible dentro de una gama de parámetros que se incluyen en las ecuaciones del sistema. Sin embargo, para un cierto valor de parámetro, el sistema comienza a comportarse de manera caótica y, por lo tanto, se hizo necesario seguir el parámetro para poder descifrar las ocurrencias de cuándo el sistema comienza a ser no predecible y qué exactamente (teóricamente) hace que el sistema se convierta en inestable.
El análisis de la continuación de los parámetros puede dar lugar a más conocimientos sobre las bifurcaciones de puntos críticos / estables. El estudio de las bifurcaciones de soluciones estables de nodo silla de montar, transcrítico, horquilla de tono, duplicación de período, Hopf, Hopf secundario (Neimark) permite una discusión teórica de las circunstancias y ocurrencias que surgen en los puntos críticos. La continuación de parámetros también proporciona un sistema más confiable para analizar un sistema dinámico, ya que es más estable que las soluciones numéricas más interactivas y escalonadas en el tiempo. Especialmente en los casos en los que el sistema dinámico es propenso a explotar en ciertos valores de parámetros (o una combinación de valores para múltiples parámetros). [2]
Es extremadamente revelador en cuanto a la presencia de soluciones estables (atrayentes o repelentes) en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales no lineales donde el paso de tiempo en la forma del algoritmo Crank Nicolson consume mucho tiempo y es inestable en casos de crecimiento no lineal del variables dependientes en el sistema. El estudio de la turbulencia es otro campo en el que se han utilizado las técnicas de continuación numérica para estudiar el advenimiento de la turbulencia en un sistema que comienza con números de Reynolds bajos. Además, la investigación que utiliza estas técnicas ha brindado la posibilidad de encontrar variedades estables y bifurcaciones a toros invariantes en el caso del problema restringido de tres cuerpos en la gravedad newtoniana y también ha brindado conocimientos interesantes y profundos sobre el comportamiento de sistemas como el de Lorenz. ecuaciones .
Software
(En construcción) Consulte también la lista del Grupo de actividades de SIAM sobre sistemas dinámicos http://www.dynamicalsystems.org/sw/sw/
- AUTO: Cálculo de las soluciones de problemas de valor límite de dos puntos (TPBVP) con restricciones integrales. https://sourceforge.net/projects/auto-07p/ Disponible en SourceForge.
- HOMCONT: Cálculo de órbitas homoclínicas y heteroclínicas. Incluido en AUTO
- MATCONT: Caja de herramientas de Matlab para continuación numérica y bifurcación [1] Disponible en SourceForge.
- DDEBIFTOOL: Cálculo de soluciones de Ecuaciones Diferenciales de Retardo. Un paquete de MATLAB. Disponible en KU Leuven
- PyCont: una caja de herramientas de Python para continuación numérica y bifurcación. Algoritmos nativos de Python para continuación de punto fijo, interfaz sofisticada a AUTO para otros tipos de problemas. Incluido como parte de PyDSTool
- CANDYS / QA: disponible en la Universität Potsdam [A16]
- MANPAK: disponible en Netlib [A15]
- PDDE-CONT: http://seis.bris.ac.uk/~rs1909/pdde/
- multifario: http://multifario.sourceforge.net/
- LOCA: https://trilinos.org/packages/nox-and-loca/
- DSTool
- GAIO
- OSCILL8: Oscill8 es una herramienta de sistemas dinámicos que permite al usuario explorar el espacio de parámetros de alta dimensión de ODE no lineales utilizando técnicas analíticas de bifurcación. Disponible en SourceForge .
- MANLAB: Cálculo de equilibrio, solución periódica y cuasi-periódica de ecuaciones diferenciales utilizando desarrollos en serie de Fourier (método del equilibrio armónico) de la solución y desarrollos en serie de Taylor (método numérico asintótico) de la rama solución. Disponible en LMA Marseille.
- BifurcationKit.jl: este paquete de Julia tiene como objetivo realizar un análisis automático de bifurcación de ecuaciones dimensionales grandes F (u, λ) = 0 donde λ∈ℝ aprovechando métodos iterativos, formulación dispersa y hardware específico (por ejemplo, GPU). [2]
Ejemplos de
Este problema de encontrar los puntos que F mapea en el origen aparece en los gráficos de computadora como los problemas de dibujar mapas de contorno (n = 2), o isosuperficie (n = 3). El contorno con valor h es el conjunto de todos los componentes de la solución de Fh = 0
Referencias
- ^ Introducción a los métodos de continuación numérica por Eugene L. Allgower y Kurt Georg Colorado State University 1990
- ^ Engelnkemper, S .; Gurevich, SV; Uecker, H .; Wetzel, D .; Thiele, U. (7 de julio de 2018). Modelado computacional de bifurcaciones e inestabilidades en dinámica de fluidos . Saltador. págs. 459–501. arXiv : 1808.02321 . doi : 10.1007 / 978-3-319-91494-7_13 . ISBN 9783319914930.
Libros
[B1] " Introducción a los métodos de continuación numérica ", Eugene L. Allgower y Kurt Georg, SIAM Classics in Applied Mathematics 45. 2003.
[B2] " Métodos numéricos para bifurcaciones de equilibrios dinámicos ", Willy JF Govaerts, SIAM 2000.
[B3] " Métodos de Lyapunov-Schmidt en análisis y aplicaciones no lineales ", Nikolay Sidorov, Boris Loginov, Aleksandr Sinitsyn y Michail Falaleev, Kluwer Academic Publishers, 2002.
[B4] " Métodos de la teoría de la bifurcación ", Shui-Nee Chow y Jack K. Hale, Springer-Verlag 1982.
[B5] " Elementos de la teoría de la bifurcación aplicada ", Yuri A. Kunetsov, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 112, 1995.
[B6] "Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales", John Guckenheimer y Philip Holmes , Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 42, 1983.
[B7] " Teoría de la Bifurcación y Estabilidad Elemental ", Gerard Iooss y Daniel D. Joseph, Textos de Pregrado en Matemáticas de Springer-Verlag , 1980.
[B8] " Teoría de la singularidad e introducción a la teoría de la catástrofe ", Yung-Chen Lu, Springer-Verlag, 1976.
[B9] " Bifurcaciones globales y caos, métodos analíticos ", S. Wiggins, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 73, 1988.
[B10] " Singularidades y grupos en la teoría de la bifurcación, volumen I ", Martin Golubitsky y David G. Schaeffer, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 51, 1985.
[B11] " Singularidades y grupos en la teoría de la bifurcación, volumen II ", Martin Golubitsky , Ian Stewart y David G. Schaeffer, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 69, 1988.
[B12] " Solución de sistemas polinomiales utilizando la continuación para problemas de ingeniería y científicos ", Alexander Morgan, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ 1987.
[B13] " Caminos hacia soluciones, puntos fijos y equilibrios ", CB García y WI Zangwill, Prentice-Hall, 1981.
[B14] " El teorema de la función implícita: historia, teoría y aplicaciones ", Steven G. Krantz y Harold R. Parks , Birkhauser, 2002.
[B15] " Análisis funcional no lineal ", JT Schwartz, Gordon and Breach Science Publishers, Notes on Mathematics and its Applications, 1969.
[B16] " Temas en el análisis funcional no lineal ", Louis Nirenberg (notas de Ralph A. Artino), Notas de la conferencia de AMS Courant en Matemáticas 6, 1974.
[B17] " Métodos de Newton para problemas no lineales - Invarianza afín y algoritmos adaptativos ", P. Deuflhard, Series Computational Mathematics 35, Springer, 2006.
artículos periodísticos
[A1] " Un algoritmo para la aproximación lineal por partes de superficies bidimensionales definidas implícitamente ", Eugene L. Allgower y Stefan Gnutzmann, SIAM Journal on Numerical Analysis, Volumen 24, Número 2, 452-469, 1987.
[A2] " Métodos simples y de continuación para aproximaciones, puntos fijos y soluciones de sistemas de ecuaciones ", EL Allgower y K. Georg, Revisión de SIAM, Volumen 22, 28-85, 1980.
[A3] " Un algoritmo para la aproximación lineal por partes de un colector definido implícitamente ", Eugene L. Allgower y Phillip H. Schmidt, SIAM Journal on Numerical Analysis, volumen 22, número 2, 322-346, abril de 1985.
[A4] " Trazado de contorno por aproximaciones lineales por partes ", David P. Dobkin , Silvio VF Levy, William P. Thurston y Allan R. Wilks, ACM Transactions on Graphics, 9 (4) 389-423, 1990.
[A5] " Solución numérica de problemas de bifurcación y valores propios no lineales ", HB Keller, en "Aplicaciones de la teoría de la bifurcación", P. Rabinowitz ed., Academic Press, 1977.
[A6] " Un proceso de continuación parametrizado localmente ", WC Rheinboldt y JV Burkardt, ACM Transactions on Mathematical Software, Volumen 9, 236-246, 1983.
[A7] " Numéricos no lineales " E. Doedel, Revista Internacional de Bifurcación y Caos , 7 (9): 2127-2143, 1997.
[A8] " Computación no lineal ", R. Seydel, Revista Internacional de Bifurcación y Caos , 7 (9): 2105-2126, 1997.
[A9] " Sobre un algoritmo de marco móvil y la triangulación de los colectores de equilibrio ", WC Rheinboldt, En T. Kuper, R. Seydel y H. Troger eds. "ISNM79: Bifurcación: análisis, algoritmos, aplicaciones", páginas 256-267. Birkhauser, 1987.
[A10] " Sobre el cálculo de múltiples soluciones multidimensionales de ecuaciones parametrizadas ", WC Rheinboldt, Numerishe Mathematik, 53, 1988, páginas 165-181.
[A11] " Sobre la aproximación simple de los colectores bidimensionales definidos implícitamente ", ML Brodzik y WC Rheinboldt, Computers and Mathematics with Applications, 28 (9): 9-21, 1994.
[A12] " El cálculo de aproximaciones simples de los p-múltiples definidos implícitamente ", ML Brodzik, Computers and Mathematics with Applications, 36 (6): 93-113, 1998.
[A13] " Nuevo algoritmo para la continuación numérica bidimensional ", R. Melville y DS Mackey, Computadoras y matemáticas con aplicaciones, 30 (1): 31-46, 1995.
[A14] " Continuación de parámetros múltiples: cálculo de variedades k definidas implícitamente ", ME Henderson, IJBC 12 [3]: 451-76, 2003.
[A15] " MANPACK: un conjunto de algoritmos para cálculos en variedades definidas implícitamente ", WC Rheinboldt, Comput. Matemáticas. Applic. 27 páginas 15–9, 1996.
[A16] " CANDYS / QA - Un sistema de software para el análisis cualitativo de sistemas dinámicos no lineales ", Feudel, U. y W. Jansen, Int. J. Bifurcación y caos, vol. 2 no. 4, págs. 773–794, World Scientific, 1992.