Certificación numérica

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La certificación numérica es el proceso de verificar la exactitud de una solución candidata a un sistema de ecuaciones . En las matemáticas computacionales (numéricas), como la geometría algebraica numérica , las soluciones candidatas se calculan algorítmicamente, pero existe la posibilidad de que los errores hayan corrompido a los candidatos. Por ejemplo, además de la inexactitud de los datos de entrada y las soluciones candidatas, los errores numéricos o los errores en la discretización del problema pueden resultar en soluciones candidatas corruptas. El objetivo de la certificación numérica es proporcionar un certificado que demuestre cuáles de estos candidatos son, de hecho, soluciones aproximadas.

Los métodos para la certificación se pueden dividir en dos sabores: certificación a priori y certificación a posteriori . La certificación a posteriori confirma la corrección de las respuestas finales (independientemente de cómo se generen), mientras que la certificación a priori confirma la corrección de cada paso de un cálculo específico. Un ejemplo típico de certificación a posteriori es la teoría alfa de Smale , mientras que un ejemplo típico de certificación a priori es la aritmética de intervalos .

Un certificado para una raíz es una prueba computacional de la corrección de una solución candidata. Por ejemplo, un certificado puede consistir en una solución aproximada , una región que contiene y una prueba que contiene exactamente una solución al sistema de ecuaciones.${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$

En este contexto, un certificado numérico a priori es un certificado en el sentido de corrección en informática . Por otro lado, un certificado numérico a posteriori opera solo sobre soluciones, independientemente de cómo se calculen. Por lo tanto, la certificación a posteriori es diferente de la corrección algorítmica: para un ejemplo extremo, un algoritmo podría generar aleatoriamente candidatos e intentar certificarlos como raíces aproximadas utilizando la certificación a posteriori .

La piedra angular de la teoría alfa de Smale es acotar el error del método de Newton . El trabajo de Smale de 1986 ^[1] introdujo la cantidad , que cuantifica la convergencia del método de Newton. Más precisamente, sea ​​un sistema de funciones analíticas en las variables , el operador derivada y el operador de Newton. Las cantidades ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D}$${\displaystyle N}$

El paquete de software alphaCertified proporciona una implementación de la prueba alfa para polinomios al estimar y . ^[2]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

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