El grupo de renormalización numérica ( NRG ) es una técnica ideada por Kenneth Wilson para resolver ciertos problemas de muchos cuerpos donde la física cuántica de impurezas juega un papel clave.
Historia
El grupo de renormalización numérica es un procedimiento intrínsecamente no perturbativo, que se utilizó originalmente para resolver el modelo de Kondo . [1] El modelo de Kondo es un modelo teórico simplificado que describe un sistema de impurezas de espín 1/2 magnético que se acoplan a electrones de conducción metálicos (por ejemplo, impurezas de hierro en el oro). Este problema es notoriamente difícil de abordar teóricamente, ya que las técnicas perturbativas se descomponen a baja energía. Sin embargo, Wilson pudo probar por primera vez utilizando el grupo de renormalización numérica que el estado fundamental del modelo de Kondo es un estado singlete. Pero quizás lo más importante, las nociones de renormalización , puntos fijos yEl flujo de grupo de renormalización se introdujo en el campo de la teoría de la materia condensada; por eso Wilson ganó el Premio Nobel en 1982. El comportamiento completo del modelo de Kondo, incluido el régimen de 'momento local' de alta temperatura y el régimen de baja temperatura el régimen de "acoplamiento fuerte" es capturado por el grupo de renormalización numérica; Se demostró que una escala de energía exponencialmente pequeña T K (no accesible desde la teoría de la perturbación directa ) gobierna todas las propiedades a bajas energías, con todos los observables físicos como resistividad, termodinámica, dinámica, etc. que exhiben escala universal. Este es un rasgo característico de muchos problemas en la física de la materia condensada, y es un tema central de la física cuántica de impurezas en particular. En el ejemplo original del modelo de Kondo, el momento local de la impureza está completamente protegido por debajo de T K por los electrones de conducción a través del célebre efecto Kondo ; y una consecuencia famosa es que tales materiales exhiben un mínimo de resistividad a bajas temperaturas, contrariamente a las expectativas basadas puramente en la contribución de fonón estándar , donde se predice que la resistividad disminuirá monótonamente con la temperatura.
La mera existencia de momentos locales en sistemas reales presupone, por supuesto, fuertes correlaciones electrón-electrón. El modelo de impurezas de Anderson describe un nivel cuántico con una repulsión de Coulomb in situ entre electrones (en lugar de un espín), que está acoplado en túnel a los electrones de conducción metálicos. En el régimen de ocupación individual de la impureza, se puede derivar el modelo de Kondo del modelo de Anderson, pero este último contiene otras físicas asociadas con las fluctuaciones de carga. El grupo de renormalización numérica se amplió para tratar con el modelo de Anderson (capturando así tanto la física de Kondo como la física de fluctuación de valencia) por HR Krishnamurthy et al. [2] en 1980. De hecho, se han realizado varios desarrollos importantes desde: Bulla et al. [3]
Técnica
El grupo de renormalización numérica es un procedimiento iterativo, que es un ejemplo de una técnica de grupo de renormalización .
La técnica consiste en dividir primero la banda de conducción en intervalos logarítmicos (es decir, intervalos que se hacen más pequeños exponencialmente a medida que te acercas a la energía de Fermi). Se retiene un estado de banda de conducción de cada intervalo, siendo esta la combinación totalmente simétrica de todos los estados de ese intervalo. La banda de conducción ahora se ha "discretizado logarítmicamente". El hamiltoniano está ahora en posición de transformarse en la denominada forma de cadena lineal, en la que la impureza está acoplada a un solo estado de banda de conducción, que está acoplado a otro estado de banda de conducción y así sucesivamente. Fundamentalmente, estos acoplamientos disminuyen exponencialmente a lo largo de la cadena, de modo que, aunque el hamiltoniano transformado es para una cadena infinita, uno puede considerar una cadena de longitud finita y aún así obtener resultados útiles.
La única restricción a la banda de conducción es que no interactúa. Desarrollos recientes [4] hacen posible el mapeo de una banda de conducción multicanal general con mezcla de canales a una cadena de Wilson, y aquí está la implementación de Python.
Una vez que el hamiltoniano está en forma de cadena lineal, se puede comenzar el proceso iterativo. Primero se considera la impureza aislada, que tendrá algún conjunto característico de niveles de energía. Luego, se considera agregar la primera banda de conducción orbital a la cadena. Esto provoca una división en los niveles de energía de la impureza aislada. Luego, se considera el efecto de agregar más orbitales a lo largo de la cadena, lo que divide aún más los niveles de energía obtenidos hasta ahora. Debido a que los acoplamientos disminuyen a lo largo de la cadena, las escisiones sucesivas causadas por la adición de orbitales a la cadena disminuyen.
Cuando se ha agregado un número particular de orbitales a la cadena, tenemos un conjunto de niveles de energía para esa cadena finita. Obviamente, este no es el verdadero conjunto de niveles de energía para la cadena infinita, pero es una buena aproximación al verdadero conjunto en el rango de temperatura donde: las divisiones adicionales causadas por la adición de más orbitales son insignificantes, y tenemos suficientes orbitales en la cadena. para tener en cuenta las divisiones que son relevantes en este rango de temperatura. El resultado de esto es que los resultados obtenidos para una cadena de cualquier longitud particular son válidos solo en un rango de temperatura particular, un rango que se mueve a temperaturas más bajas a medida que aumenta la longitud de la cadena. Esto significa que al considerar los resultados en muchas longitudes de cadena diferentes, se puede construir una imagen del comportamiento del sistema en un amplio rango de temperatura.
El hamiltoniano para una cadena lineal de longitud finita es un ejemplo de un hamiltoniano eficaz. No es el hamiltoniano completo del sistema de cadena lineal infinita, pero en un cierto rango de temperatura da resultados similares al hamiltoniano completo.
Notas
- ↑ Wilson, Kenneth G. (1 de octubre de 1975). "El grupo de renormalización: fenómenos críticos y el problema de Kondo". Reseñas de Física Moderna . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 47 (4): 773–840. doi : 10.1103 / revmodphys.47.773 . ISSN 0034-6861 .
- ^ Krishna-murthy, H .; Wilkins, J .; Wilson, K. (1980). "Enfoque de grupo de renormalización para el modelo de Anderson de aleaciones magnéticas diluidas. I. Propiedades estáticas para el caso simétrico". Physical Review B . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 21 (3): 1003–1043. doi : 10.1103 / physrevb.21.1003 . ISSN 0163-1829 .
- ^ Bulla, Ralf; Costi, Theo A .; Pruschke, Thomas (2 de abril de 2008). "Método de grupo de renormalización numérica para sistemas de impurezas cuánticas". Reseñas de Física Moderna . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 80 (2): 395–450. doi : 10.1103 / revmodphys.80.395 . ISSN 0034-6861 .
- ^ Liu, Jin-Guo; Wang, Da; Wang, Qiang-Hua (2016). "Impurezas cuánticas en baños de mezcla de canales". Physical Review B . 93 (3): 035102. arXiv : 1509.01461 . Código bibliográfico : 2016PhRvB..93c5102L . doi : 10.1103 / PhysRevB.93.035102 .