En matemáticas, un semigrupo numérico es un tipo especial de semigrupo . Su conjunto subyacente es el conjunto de todos los enteros no negativos excepto un número finito y la operación binaria es la operación de suma de enteros. Además, el entero 0 debe ser un elemento del semigrupo. Por ejemplo, mientras que el conjunto {0, 2, 3, 4, 5, 6, ...} es un semigrupo numérico, el conjunto {0, 1, 3, 5, 6, ...} no lo es porque 1 es en el conjunto y 1 + 1 = 2 no está en el conjunto. Los semigrupos numéricos son monoides conmutativos y también se conocen como monoides numéricos . [1] [2]
La definición de semigrupo numérico está íntimamente relacionada con el problema de determinar números enteros no negativos que se pueden expresar en la forma x 1 n 1 + x 2 n 2 + ... + x r n r para un conjunto dado { n 1 , n 2 , ..., n r } de enteros positivos y para enteros arbitrarios no negativos x 1 , x 2 , ..., x r . Este problema había sido considerado por varios matemáticos como Frobenius (1849 - 1917) y Sylvester (1814 - 1897) a finales del siglo XIX. [3] Durante la segunda mitad del siglo XX, resurgió el interés por el estudio de los semigrupos numéricos debido a sus aplicaciones en la geometría algebraica . [4]
Definición y ejemplos
Definición
Sea N el conjunto de enteros no negativos. Un subconjunto S de N se denomina semigrupo numérico si se cumplen las siguientes condiciones.
- 0 es un elemento de S
- N - S , el complemento de S en N , es finito.
- Si x y y están en S entonces x + y es también en S .
Existe un método simple para construir semigrupos numéricos. Sea A = { n 1 , n 2 , ..., n r } un conjunto no vacío de enteros positivos. El conjunto de todos los números enteros de la forma x 1 n 1 + x 2 n 2 + ... + x r n r es el subconjunto de N generada por A y se denota por ⟨ A ⟩. El siguiente teorema caracteriza completamente a los semigrupos numéricos.
Teorema
Deje que S sea el subsemigroup de N generada por A . Entonces S es un semigrupo numérico si y solo si mcd ( A ) = 1. Además, todo semigrupo numérico surge de esta manera. [5]
Ejemplos de
Los siguientes subconjuntos de N son semigrupos numéricos.
- ⟨1⟩ = {0, 1, 2, 3, ...}
- ⟨1, 2⟩ = {0, 1, 2, 3, ...}
- ⟨2, 3⟩ = {0, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
- Sea a un número entero positivo. ⟨ Una , un + 1, un + 2, ..., 2 un - 1⟩ = {0, un , un + 1, un + 2, un + 3, ...}.
- Deje que b sea un número entero impar mayor que 1. Entonces ⟨2, b ⟩ = {0, 2, 4,. . . , b - 3, b - 1, b , b + 1, b + 2, b + 3, ...}.
- Bien temperado armónica semigrupo H = {0,12,19,24,28,31,34,36,38,40,42,43,45,46,47,48, ...} [6]
Incorporando dimensión, multiplicidad
El conjunto A es un conjunto de generadores del semigrupo numérico ⟨ Un ⟩. Un conjunto de generadores de un semigrupo numérico es un sistema mínimo de generadores si ninguno de sus subconjuntos propios genera el semigrupo numérico. Se sabe que cada semigrupo numérico S tiene un sistema mínimo único de generadores y también que este sistema mínimo de generadores es finito. La cardinalidad del conjunto mínimo de generadores se denomina dimensión de incrustación del semigrupo numérico S y se denota por e ( S ). El miembro más pequeño en el sistema mínimo de generadores se llama multiplicidad del semigrupo numérico S y se denota por m ( S ).
Número y género de Frobenius
Hay varios números notables asociados con un semigrupo numérico S .
- El conjunto N - S se denomina conjunto de espacios en S y se denota por G ( S ).
- El número de elementos en el conjunto de espacios G ( S ) se llama género de S (o, el grado de singularidad de S ) y se denota por g ( S ).
- El elemento más grande en G ( S ) se llama el número de Frobenius de S y se denota por F ( S ).
- El elemento más pequeño de S tal que todos los números enteros mayores sean igualmente elementos de S se llama conductor; es F ( S ) + 1.
Ejemplos de
Sea S = ⟨5, 7, 9⟩. Entonces nosotros tenemos:
- El conjunto de elementos en S : S = {0, 5, 7, 9, 10, 12, 14, ...}.
- El conjunto mínimo de generadores de S : {5, 7, 9}.
- La dimensión de incrustación de S : e ( S ) = 3.
- La multiplicidad de S : m ( S ) = 5.
- El conjunto de espacios en S : G ( S ) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13}.
- El número de Frobenius de S es F ( S ) = 13, y su conductor es 14.
- El género de S : g ( S ) = 8.
Semigrupos numéricos con un pequeño número o género de Frobenius
norte | Semigroup S con F ( S ) = n | Semigrupo S con g ( S ) = n |
---|---|---|
1 | ⟨2, 3⟩ | ⟨2, 3⟩ |
2 | ⟨3, 4, 5⟩ | ⟨3, 4, 5⟩ ⟨2, 5⟩ |
3 | ⟨4, 5, 6, 7⟩ ⟨2, 5⟩ | ⟨4, 5, 6, 7,⟩ ⟨3, 5, 7⟩ ⟨3, 4⟩ ⟨2, 7⟩ |
4 | ⟨5, 6, 7, 8, 9⟩ ⟨3, 5, 7⟩ | ⟨5, 6, 7, 8, 9⟩ ⟨4, 6, 7, 9⟩ ⟨3, 7, 8⟩ ⟨4, 5, 7⟩ ⟨4, 5, 6⟩ ⟨3, 5,⟩ ⟨2, 9⟩ |
Cálculo del número de Frobenius
Semigrupos numéricos con dimensión de incrustación dos
Sylvester conocía los siguientes resultados generales. [7] [ Error de verificación ] Vamos a y b ser números enteros positivos tales que gcd ( a , b ) = 1. Entonces
- F (⟨ un , b ⟩) = ( a - 1) ( b - 1) - 1 = ab - ( un + b ).
- g (⟨ un , b ⟩) = ( a - 1) ( b - 1) / 2.
Semigrupos numéricos con dimensión de incrustación tres
No existe una fórmula general conocida para calcular el número de Frobenius de semigrupos numéricos que tienen una dimensión de incrustación de tres o más. No se puede encontrar una fórmula polinomial para calcular el número o género de Frobenius de un semigrupo numérico con dimensión de incrustación tres. [8] Cada entero positivo es el número de Frobenius de algún semigrupo numérico con dimensión de incrustación tres. [9]
Algoritmo de Rödseth
El siguiente algoritmo, conocido como algoritmo de Rödseth, [10] [11] se puede utilizar para calcular el número de Frobenius de un semigrupo numérico S generado por { a 1 , a 2 , a 3 } donde a 1 < a 2 < a 3 y gcd ( a 1 , a 2 , a 3 ) = 1. Su complejidad en el peor de los casos no es tan buena como el algoritmo de Greenberg [12] pero es mucho más simple de describir.
- Sea s 0 el único entero tal que a 2 s 0 ≡ a 3 mod a 1 , 0 ≤ s 0 < a 1 .
- El algoritmo de fracción continua se aplica a la relación a 1 / s 0 :
- a 1 = q 1 s 0 - s 1 , 0 ≤ s 1 < s 0 ,
- s 0 = q 2 s 1 - s 2 , 0 ≤ s 2 < s 1 ,
- s 1 = q 3 s 2 - s 3 , 0 ≤ s 3 < s 2 ,
- ...
- s m −1 = q m +1 s m ,
- s m +1 = 0,
- donde q i ≥ 2, s i ≥ 0 para todo i.
- Deje p −1 = 0, p 0 = 1, p i +1 = q i +1 p i - p i −1 y r i = ( s i a 2 - p i a 3 ) / a 1 .
- Sea v el número entero único tal que r v +1 ≤ 0 < r v , o de manera equivalente, el entero único tal
- s v +1 / p v +1 ≤ a 3 / a 2 < s v / p v ·
- Entonces, F ( S ) = - a 1 + a 2 ( s v - 1) + a 3 ( p v +1 - 1) - min { a 2 s v +1 , a 3 p v }.
Clases especiales de semigrupos numéricos
Un semigrupo numérico irreductible es un semigrupo numérico tal que no puede escribirse como la intersección de dos semigrupos numéricos que lo contienen adecuadamente. Un semigrupo numérico S es irreducible si y solo si S es máximo, con respecto a la inclusión de conjuntos, en la colección de todos los semigrupos numéricos con el número de Frobenius F ( S ).
Un semigrupo numérico S es simétrico si es irreducible y su número de Frobenius F ( S ) es impar. Decimos que S es pseudo-simétrico siempre que S sea irreducible y F (S) sea par. Dichos semigrupos numéricos tienen caracterizaciones simples en términos de número y género de Frobenius:
- Un semigrupo numérico S es simétrico si y solo si g ( S ) = ( F ( S ) + 1) / 2.
- Un semigrupo numérico S es pseudo-simétrico si y solo si g ( S ) = ( F ( S ) + 2) / 2.
Ver también
Referencias
- ^ García-Sánchez, PA "Minicurso de semigrupos numéricos" . Consultado el 6 de abril de 2011 .
- ^ Finch, Steven. "Monoides de números naturales" (PDF) . Proyecto de Algoritmos INRIA . Consultado el 7 de abril de 2011 .
- ^ JC Rosales y PA García-Sánchez (2009). Semigrupos numéricos . Saltador. ISBN 978-1-4419-0159-0.
- ^ V. Barucci; et al. (1997). "Propiedades de maximidad en semigrupos numéricos y aplicaciones a dominios locales unidimensionales analíticamente irreductibles". Memorias del Amer. Matemáticas. Soc . 598 .
- ^ García-Sánchez, JC Rosales, PA (2009). Semigrupos numéricos (Primera ed.). Nueva York: Springer. pag. 7. ISBN 978-1-4419-0160-6.
- ^ M. Bras-Amorós (2019). "Monoides templados de números reales, el monoide fractal dorado y el semigrupo armónico templado" . Foro de Semigroup . 99 : 496–516. arXiv : 1703.01077 . doi : 10.1007 / s00233-019-10059-4 .
- ^ JJ Sylvester (1884). "Preguntas matemáticas con sus soluciones". Tiempos educativos . 41 (21).
- ^ F. Curtis (1990). "Sobre fórmulas para el número de Frobenius de un semigrupo numérico" . Mathematica Scandinavica . 67 (2): 190-192. doi : 10.7146 / math.scand.a-12330 . Consultado el 18 de marzo de 2019 .
- ^ JC Rosales; et al. (2004). "Todo entero positivo es el número de Frobenius de un semigrupo numérico con tres generadores" . Mathematica Scandinavica . 94 : 5-12. doi : 10.7146 / math.scand.a-14427 . Consultado el 14 de marzo de 2015 .
- ^ JL Ramírez Alfonsín (2005). El problema diofántico de Frobenius . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 4 –6. ISBN 978-0-19-856820-9.
- ^ Ö.J. Rödseth (1978). "Sobre un problema diofántico lineal de Frobenius". J. Reine Angew. Matemáticas. 301 : 171-178.
- ^ Harold Greenberg (1988). "Solución de una ecuación diofántica lineal para enteros no negativos". Revista de algoritmos . 9 (3): 343–353. doi : 10.1016 / 0196-6774 (88) 90025-9 .