Barrio (matemáticas)

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un vecindario (o vecindario ) es uno de los conceptos básicos en un espacio topológico . Está estrechamente relacionado con los conceptos de decorado abierto e interior . Hablando intuitivamente, una vecindad de un punto es un conjunto de puntos que contienen ese punto donde uno puede mover una cierta cantidad en cualquier dirección lejos de ese punto sin salir del conjunto.

Si es un espacio topológico y es un punto en una vecindad de es un subconjunto de que incluye un conjunto abierto que contiene${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle p,}$

Esto también es equivalente al punto que pertenece al interior topológico de en${\ Displaystyle p \ en X}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle X.}$

El barrio tiene por qué no ser un subconjunto abierto pero cuando está abierto en entonces se llama una${\displaystyle V}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$barrio abierto . ^[1] Se sabe que algunos autores exigen que los vecindarios estén abiertos, por lo que es importante tener en cuenta las convenciones.

Un conjunto que es una vecindad de cada uno de sus puntos es abierto ya que puede expresarse como la unión de conjuntos abiertos que contienen cada uno de sus puntos. Un rectángulo, como se ilustra en la figura, no es una vecindad de todos sus puntos; los puntos en los bordes o esquinas del rectángulo no están contenidos en ningún conjunto abierto que esté contenido dentro del rectángulo.

Si es un subconjunto del espacio topológico, entonces una vecindad de es un conjunto que incluye un conjunto abierto que contiene. De ello se deduce que un conjunto es una vecindad de si y solo si es una vecindad de todos los puntos en Además, es una vecindad de si y solo si es un subconjunto del interior de Una vecindad de que también es un conjunto abierto se llama vecindad abierta de La vecindad de un punto es solo un caso especial de esta definición.${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

Un conjunto en el plano es una vecindad de un punto si un pequeño disco alrededor está contenido en${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V.}$

Un rectángulo cerrado no tiene vecindad en ninguna de sus esquinas ni en su límite.

Un set en el avión y una vecindad uniforme de${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S.}$

La vecindad épsilon de un número en la recta numérica real.${\displaystyle a}$

El conjunto M es una vecindad del número a , porque hay una vecindad ε de a que es un subconjunto de M.