Orientación (espacio vectorial)
La orientación de un espacio vectorial real o simplemente la orientación de un espacio vectorial es la elección arbitraria de qué bases ordenadas están orientadas "positivamente" y cuáles están orientadas "negativamente". En el espacio euclidiano tridimensional , las bases derechas se declaran típicamente orientadas positivamente, pero la elección es arbitraria, ya que también se les puede asignar una orientación negativa. Un espacio vectorial con una orientación seleccionada se denomina espacio vectorial orientado , mientras que uno que no tiene una orientación seleccionada se denominadesorientado .
En matemáticas , la orientabilidad es una noción más amplia que, en dos dimensiones, permite decir cuándo un ciclo gira en sentido horario o antihorario, y en tres dimensiones cuando una figura es zurda o diestra. En álgebra lineal sobre los números reales , la noción de orientación tiene sentido en dimensión finita arbitraria, y es una especie de asimetría que hace imposible replicar una reflexión mediante un simple desplazamiento. Así, en tres dimensiones, es imposible convertir la mano izquierda de una figura humana en la mano derecha de la figura aplicando un solo desplazamiento, pero es posible hacerlo reflejando la figura en un espejo. Como resultado, en el espacio euclidiano tridimensional , las dos posibles orientaciones base se denominan diestros y zurdos (o quiral derecha y quiral izquierda).
Deje que V sea una dimensión finita espacio vectorial real y deja b 1 y b 2 sea dos bases ordenados para V . Es un resultado estándar en álgebra lineal que existe una transformación lineal única A : V → V que lleva b 1 a b 2 . Se dice que las bases b 1 y b 2 tienen la misma orientación (o están orientadas consistentemente) si A tiene un determinante positivo; de lo contrario, tienen orientaciones opuestas . La propiedad de tener la misma orientación define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las bases ordenadas para V. Si V es distinto de cero, hay precisamente dos clases de equivalencia determinadas por esta relación. Una orientación en V es una asignación de +1 a una clase de equivalencia y -1 a la otra. [1]
Cada base ordenada vive en una clase de equivalencia u otra. Así, cualquier elección de una base ordenada privilegiada para V determina una orientación: la clase de orientación de la base privilegiada se declara positiva.
Por ejemplo, la base estándar en R n proporciona una orientación estándar en R n (a su vez, la orientación de la base estándar depende de la orientación del sistema de coordenadas cartesianas en el que se construye). Cualquier elección de un lineal isomorfismo entre V y R n proporcionará entonces una orientación en V .
El orden de los elementos en una base es crucial. Dos bases con un orden diferente se diferenciarán por alguna permutación . Tendrán orientaciones iguales / opuestas según que la firma de esta permutación sea ± 1. Esto se debe a que el determinante de una matriz de permutación es igual a la firma de la permutación asociada.
