Curva de pedales
En matemáticas, una curva de pedal de una curva dada resulta de la proyección ortogonal de un punto fijo en las líneas tangentes de esta curva. Más precisamente, para una curva plana C y un punto de pedal fijo dado P , la curva de pedal de C es el lugar geométrico de los puntos X , de modo que la línea PX es perpendicular a una tangente T a la curva que pasa por el punto X. Por el contrario, en cualquier punto R de la curva C , sea Tsea la recta tangente en ese punto R ; entonces hay un único punto X sobre la tangente T que forma con el punto P del pedal una línea perpendicular a la tangente T (para el caso especial cuando el punto fijo P está sobre la tangente T , los puntos X y P coinciden) – el curva de pedal es el conjunto de tales puntos X , llamado pie de la perpendicular a la tangente T desde el punto fijo P , a medida que el punto variable R se desplaza sobre la curva C .
Complementando la curva del pedal, hay un único punto Y en la línea normal a C en R , de modo que PY es perpendicular a la normal, por lo que PXRY es un rectángulo (posiblemente degenerado). El lugar geométrico de los puntos Y se denomina curva contrapedal.
La ortotomía de una curva es su pedal magnificado por un factor de 2 de modo que el centro de similitud es P . Este es el lugar geométrico de la reflexión de P a través de la recta tangente T.
La curva de pedal es la primera de una serie de curvas C 1 , C 2 , C 3 , etc., donde C 1 es el pedal de C , C 2 es el pedal de C 1 , y así sucesivamente. En este esquema, C 1 se conoce como el primer pedal positivo de C , C 2 es el segundo pedal positivo de C , y así sucesivamente. Yendo en la otra dirección, C es el primer pedal negativo de C 1 , elsegundo pedal negativo de C 2 , etc. [1]
Tome P como el origen. Para una curva dada por la ecuación F ( x , y )=0, si la ecuación de la recta tangente en R =( x 0 , y 0 ) se escribe en la forma
entonces el vector (cos α, sen α) es paralelo al segmento PX , y la longitud de PX , que es la distancia desde la recta tangente al origen, es p . Entonces X está representado por las coordenadas polares ( p , α) y reemplazando ( p , α) por ( r , θ) produce una ecuación polar para la curva del pedal. [2]
