Las coordenadas parabólicas son un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales en el que las líneas de coordenadas son parábolas confocales . Se obtiene una versión tridimensional de coordenadas parabólicas rotando el sistema bidimensional alrededor del eje de simetría de las parábolas.
Las coordenadas parabólicas han encontrado muchas aplicaciones, por ejemplo, el tratamiento del efecto Stark y la teoría potencial de los bordes.
Coordenadas parabólicas bidimensionales
Coordenadas parabólicas bidimensionales están definidos por las ecuaciones, en términos de coordenadas cartesianas:
Las curvas de constante formar parábolas confocales
que se abren hacia arriba (es decir, hacia ), mientras que las curvas de constante formar parábolas confocales
que se abren hacia abajo (es decir, hacia ). Los focos de todas estas parábolas se encuentran en el origen.
Factores de escala bidimensionales
Los factores de escala para las coordenadas parabólicas son iguales
Por tanto, el elemento infinitesimal de área es
y el laplaciano es igual
Otros operadores diferenciales como y se puede expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .
Coordenadas parabólicas tridimensionales
Las coordenadas parabólicas bidimensionales forman la base de dos conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales . Las coordenadas cilíndricas parabólicas se producen proyectando en el-dirección. La rotación sobre el eje de simetría de las parábolas produce un conjunto de paraboloides confocales, el sistema de coordenadas de coordenadas parabólicas tridimensionales. Expresado en términos de coordenadas cartesianas:
donde las parábolas ahora están alineadas con el -eje, sobre el cual se realizó la rotación. Por lo tanto, el ángulo azimutal se define
Las superficies de constante formar paraboloides confocales
que se abren hacia arriba (es decir, hacia ) mientras que las superficies de constante formar paraboloides confocales
que se abren hacia abajo (es decir, hacia ). Los focos de todos estos paraboloides se encuentran en el origen.
El tensor métrico de Riemann asociado con este sistema de coordenadas es
Factores de escala tridimensionales
Los factores de escala tridimensionales son:
Se ve que los factores de escala y son los mismos que en el caso bidimensional. El elemento de volumen infinitesimal es entonces
y el laplaciano está dado por
Otros operadores diferenciales como y se puede expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .
Ver también
Bibliografía
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