Ecuación diferencial parcial parabólica

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Una ecuación diferencial parcial parabólica es un tipo de ecuación diferencial parcial (PDE). Las PDE parabólicas se utilizan para describir una amplia variedad de fenómenos dependientes del tiempo, incluida la conducción de calor , la difusión de partículas y la fijación de precios de instrumentos de inversión derivados .

Para definir el tipo más simple de PDE parabólica, considere una función de valor real de dos variables reales independientes, y . Una PDE de coeficiente constante, lineal y de segundo orden para toma la forma${\ estilo de visualización u (x, y)}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización u}$

Por lo general , representa una posición unidimensional y representa el tiempo, y la PDE se resuelve sujeta a las condiciones iniciales y de contorno prescritas.${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización y}$

El nombre "parabólico" se usa porque la suposición de los coeficientes es la misma que la condición para que la ecuación de geometría analítica defina una parábola plana .${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

donde es la temperatura en el tiempo y en la posición a lo largo de una barra delgada, y es una constante positiva (la difusividad térmica ). El símbolo significa la derivada parcial de con respecto a la variable tiempo y, de manera similar, es la segunda derivada parcial con respecto a . Para este ejemplo, juega el papel de en la PDE lineal general de segundo orden: , y los otros coeficientes son cero.${\ estilo de visualización u (x, t)}$${\ estilo de visualización t}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización \ alfa}$${\ estilo de visualización u_ {t}}$${\ estilo de visualización u}$${\ estilo de visualización t}$${\ estilo de visualización u_ {xx}}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización t}$${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización A = \ alfa}$${\ estilo de visualización E = -1}$

La ecuación del calor dice, aproximadamente, que la temperatura en un momento y punto determinados aumenta o disminuye a un ritmo proporcional a la diferencia entre la temperatura en ese punto y la temperatura promedio cerca de ese punto. La cantidad mide qué tan lejos está la temperatura de satisfacer la propiedad del valor medio de las funciones armónicas .${\ estilo de visualización u_ {xx}}$

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