Partícula en una red unidimensional
En mecánica cuántica , la partícula en una red unidimensional es un problema que se presenta en el modelo de una red cristalina periódica . El potencial es causado por iones en la estructura periódica del cristal que crean un campo electromagnético, por lo que los electrones están sujetos a un potencial regular dentro de la red. Es una generalización del modelo de electrones libres , que asume un potencial cero dentro de la red.
Cuando se habla de materiales sólidos, la discusión gira principalmente en torno a los cristales: redes periódicas. Aquí discutiremos una red 1D de iones positivos. Suponiendo que el espacio entre dos iones es a , el potencial en la red se verá así:
La representación matemática del potencial es una función periódica con un período a . Según el teorema de Bloch , [1] la solución de función de onda de la ecuación de Schrödinger cuando el potencial es periódico, se puede escribir como:
donde u ( x ) es una función periódica que satisface u ( x + a ) = u ( x ) . Es el factor de Bloch con exponente de Floquet el que da lugar a la estructura de bandas del espectro de energía de la ecuación de Schrödinger con un potencial periódico como el potencial de Kronig-Penney o una función coseno como en la ecuación de Mathieu.
Al acercarse a los bordes de la red, hay problemas con la condición de contorno. Por lo tanto, podemos representar la red de iones como un anillo siguiendo las condiciones de contorno de Born-von Karman . Si L es la longitud de la red de modo que L ≫ a , entonces el número de iones en la red es tan grande que cuando se considera un ion, su entorno es casi lineal y la función de onda del electrón no cambia. Así que ahora, en lugar de dos condiciones de contorno, obtenemos una condición de contorno circular:
Si N es el número de iones en la red, entonces tenemos la relación: aN = L . Reemplazando en la condición de frontera y aplicando el teorema de Bloch resultará en una cuantización para k :
