El juego de Penney , que lleva el nombre de su inventor Walter Penney, es un juego de generación de secuencias binarias (cabeza / cola) entre dos jugadores. El jugador A selecciona una secuencia de caras y cruces (de longitud 3 o más) y muestra esta secuencia al jugador B. El jugador B luego selecciona otra secuencia de caras y cruces de la misma longitud. Posteriormente, se lanza una moneda justa hasta que la secuencia del jugador A o del jugador B aparece como una subsecuencia consecutiva de los resultados del lanzamiento de la moneda. El jugador cuya secuencia aparece primero gana.
Siempre que se utilicen secuencias de al menos tres de longitud, el segundo jugador (B) tiene una ventaja sobre el jugador inicial (A). Esto se debe a que el juego no es transitivo, de modo que para cualquier secuencia dada de longitud tres o más, uno puede encontrar otra secuencia que tenga una mayor probabilidad de ocurrir primero.
Análisis del juego de tres bits
Para el juego de secuencia de tres bits , el segundo jugador puede optimizar sus probabilidades eligiendo secuencias de acuerdo con:
Elección del 1er jugador | Elección del segundo jugador | Probabilidades a favor del segundo jugador |
---|---|---|
H H H | T HH | 7 a 1 |
H H T | T HH | 3 a 1 |
H T H | H HT | 2 a 1 |
H T T | H HT | 2 a 1 |
T H H | T TH | 2 a 1 |
T H T | T TH | 2 a 1 |
T T H | H TT | 3 a 1 |
T T T | H TT | 7 a 1 |
Una manera fácil de recordar la secuencia es que el segundo jugador comience con la opción opuesta a la del medio del primer jugador y luego la siga con las dos primeras opciones del primer jugador.
- Entonces, para la elección del primer jugador de 1-2-3
- el segundo jugador debe elegir (no-2) -1-2
donde (no-2) es lo opuesto a la segunda opción del primer jugador. [1]
Una explicación intuitiva de este resultado es que, en cualquier caso, si la secuencia no es la elección inmediata del primer jugador, las posibilidades de que el primer jugador obtenga su secuencia inicial, las dos opciones iniciales, suelen ser la posibilidad de que el segundo jugador obtenga su secuencia completa. Así que el segundo jugador probablemente "terminará antes" que el primer jugador. [1]
Estrategia para más de tres bits
La estrategia óptima para el primer jugador (para cualquier longitud de la secuencia no menos de 4) fue encontrada por JA Csirik (Ver Referencias). Es elegir HTTTT ..... TTTHH ( T's) en cuyo caso la probabilidad máxima de ganar del segundo jugador es .
Variación con naipes
Una variante sugerida en Penney's Game usa un paquete de naipes ordinarios. El juego de aleatoriedad Humble-Nishiyama sigue el mismo formato usando cartas rojas y negras, en lugar de cara y cruz. [2] [3] El juego se juega de la siguiente manera. Al comienzo de un juego, cada jugador decide su secuencia de tres colores para todo el juego. A continuación, las cartas se dan vuelta una por una y se colocan en línea, hasta que aparece uno de los triples elegidos. El jugador ganador toma las cartas boca arriba, habiendo ganado ese "truco". El juego continúa con el resto de las cartas sin usar, con los jugadores recolectando trucos a medida que surgen sus triples, hasta que se hayan usado todas las cartas del mazo. El ganador del juego es el jugador que ha ganado más trucos. Un juego promedio constará de alrededor de 7 "trucos". Como esta versión basada en cartas es bastante similar a las múltiples repeticiones del juego de monedas original, la ventaja del segundo jugador se amplifica enormemente. Las probabilidades son ligeramente diferentes porque las probabilidades de cada lanzamiento de una moneda son independientes, mientras que las probabilidades de sacar una tarjeta roja o negra cada vez dependen de los sorteos anteriores. Tenga en cuenta que HHT es un favorito 2: 1 sobre HTH y HTT, pero las probabilidades son diferentes para BBR sobre BRB y BRR.
A continuación se muestran las probabilidades aproximadas de los resultados de cada estrategia basadas en simulaciones por computadora: [4]
Elección del 1er jugador | Elección del segundo jugador | Probabilidad de que el primer jugador gane | Probabilidad de que el segundo jugador gane | Probabilidad de empate |
---|---|---|---|---|
B B B | R BB | 0,11% | 99,49% | 0,40% |
B B R | R BB | 2,62% | 93,54% | 3,84% |
B R B | B BR | 11,61% | 80,11% | 8,28% |
B R R | B BR | 5,18% | 88,29% | 6,53% |
R B B | R RB | 5,18% | 88,29% | 6,53% |
R B R | R RB | 11,61% | 80,11% | 8,28% |
R R B | B RR | 2,62% | 93,54% | 3,84% |
R R R | B RR | 0,11% | 99,49% | 0,40% |
Si el juego finaliza después de la primera baza, hay una posibilidad insignificante de empate. Las probabilidades de que el segundo jugador gane en un juego de este tipo aparecen en la siguiente tabla.
Elección del 1er jugador | Elección del segundo jugador | Probabilidades a favor del segundo jugador |
---|---|---|
B B B | R BB | 7,50 a 1 |
B B R | R BB | 3,08 a 1 |
B R B | B BR | 1,99 a 1 |
B R R | B BR | 2,04 a 1 |
R B B | R RB | 2,04 a 1 |
R B R | R RB | 1,99 a 1 |
R R B | B RR | 3,08 a 1 |
R R R | B RR | 7,50 a 1 |
Variación con una rueda de ruleta
Recientemente, Robert W. Vallin, y más tarde Vallin y Aaron M. Montgomery, presentaron resultados con el Juego de Penney que se aplica a la ruleta (americana) con los Jugadores que eligen Rojo / Negro en lugar de Cara / Cruz. En esta situación, la probabilidad de que la bola caiga en rojo o negro es 9/19 y el 1/19 restante es la posibilidad de que la bola caiga en verde para los números 0 y 00. Hay varias formas de interpretar el verde: (1) como un "comodín" para que BGR se pueda leer en Negro, Negro, Rojo y Negro, Rojo, Rojo, (2) como una repetición, el juego se detiene cuando aparece el verde y se reinicia con el siguiente giro, (3) como solo en sí mismo sin interpretación adicional. Los resultados se han calculado en función de las probabilidades y los tiempos de espera. [5]
Ver también
Referencias
- ^ a b Predicción del lanzamiento de una moneda por 'Scam School' (en YouTube )
- ^ Probabilidades de ganar por Yutaka Nishiyama y Steve Humble
- ^ Juego de aleatoriedad de Humble-Nishiyama: una nueva variación del juego de monedas de Penney en CiteSeer
- ^ Los resultados concuerdan en líneas generales con los de Steve Humble y Yutaka Nishiyama, Humble-Nishiyama Randomness Game Mathematics Today agosto de 2010 p 143 - Una nueva variación del juego de monedas de Penney [1] Archivado el 24 de septiembre de 2015 en Wayback Machine.
- ^ Jennifer Beineke; Jason Rosenhouse; Robert W. Vallin (5 de septiembre de 2017). Las matemáticas de varios temas entretenidos: investigación en juegos, gráficos, conteo y complejidad, volumen 2 . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 9780691171920.
- Walter Penney, Journal of Recreational Mathematics, octubre de 1969, p. 241.
- Martin Gardner , "Viajes en el tiempo y otros desconciertos matemáticos", WH Freeman, 1988.
- LJ Guibas y AM Odlyzko , "Superposición de cadenas, coincidencia de patrones y juegos no transitivos", Journal of Combinatorial Theory, Serie A. Volumen 30, Número 2, (1981), págs. 183-208.
- Elwyn R. Berlekamp , John H. Conway y Richard K. Guy , "Formas ganadoras para sus juegos matemáticos", segunda edición, volumen 4, AK Peters (2004), p. 885.
- S. Humble & Y. Nishiyama, "Juego de aleatoriedad de Humble-Nishiyama: una nueva variación del juego de monedas de Penney", IMA Mathematics Today. Vol 46, No. 4, agosto de 2010, págs. 194–195.
- Steve Humble & Yutaka Nishiyama , "Winning Odds" , Plus Magazine, número 55, junio de 2010.
- Yutaka Nishiyama , Probabilidades y paradojas de coincidencia de patrones como una nueva variación en el juego de monedas de Penney , Revista Internacional de Matemáticas Puras y Aplicadas, Vol.59, No.3, 2010, 357-366.
- Ed Pegg, Jr. , "How to Win at Coin Flipping" , Wolfram Blog , 30 de noviembre de 2010.
- JA Csirik , "Estrategia óptima para el primer jugador en el juego ante Penney", Combinatoria, Probabilidad y Computación , Volumen 1, Número 4 (1992), págs. 311–321.
- Robert W. Vallin "Un juego de secuencia en una rueda de ruleta", Las matemáticas de materias muy entretenidas: Investigación en matemáticas recreativas, Volumen II, Princeton University Press, (que se publicará en 2017)
- James Brofos, "Un análisis de la cadena de Markov de un juego de monedas de coincidencia de patrones". arXiv: 1406.2212 (2014).