La tabla periódica de invariantes topológicos es una aplicación de la topología a la física . Indica el grupo de invariantes topológicos para aisladores y superconductores topológicos en cada dimensión y en cada clase de simetría discreta. [1]
Clases de simetría discreta
Hay diez clases de simetría discreta de aisladores y superconductores topológicos, correspondientes a las diez clases de matrices aleatorias de Altland-Zirnbauer . Están definidos por tres simetrías del hamiltoniano, (dónde , y , son los operadores de aniquilación y creación del modo , en alguna base espacial arbitraria): simetría de inversión de tiempo, simetría de huecos de partículas (o conjugación de carga) y simetría quiral (o subred).
La simetría quiral es un operador unitario , que actúa sobre , como una rotación unitaria (,) y satisface ,. Un hamiltoniano posee simetría quiral cuando , para alguna elección de (en el nivel de los hamiltonianos cuantificados por primera vez, esto significa y son matrices anticonmutación).
La inversión del tiempo es un operador antiunitario , que actúa sobre , (dónde , es un coeficiente complejo arbitrario, y , denota conjugación compleja) como ,. Puede escribirse como dónde es el operador de conjugación compleja y es una matriz unitaria. Ya sea o . Un hamiltoniano con simetría de inversión de tiempo satisface, o en el nivel de las primeras matrices cuantificadas, , para alguna elección de .
Conjugación de carga es también un operador antiunitario que actúa sobre como , y puede escribirse como dónde es unitario. De nuevo tampoco o dependiendo de qué es. Un hamiltoniano con simetría de huecos de partículas satisface, o en el nivel de las primeras matrices hamiltonianas cuantificadas, , para alguna elección de .
En el formalismo de Bloch hamiltoniano para cristales periódicos, donde el hamiltoniano actúa sobre modos de impulso cristalino , las condiciones de simetría quiral, TRS y PHS se vuelven , y .
Es evidente que si dos de estas tres simetrías están presentes, entonces la tercera también está presente, debido a la relación .
Las simetrías discretas mencionadas anteriormente etiquetan 10 clases de simetría discretas distintas, que coinciden con las clases de matrices aleatorias de Altland-Zirnbauer.
Clase de simetría | Simetría de inversión de tiempo | Simetría de huecos de partículas | Simetría quiral |
---|---|---|---|
A | No | No | No |
AIII | No | No | sí |
AI | Sí, | No | No |
BDI | Sí, | Sí, | sí |
D | No | Sí, | No |
DIII | Sí, | Sí, | sí |
AII | Sí, | No | No |
CII | Sí, | Sí, | sí |
C | No | Sí, | No |
CI | Sí, | Sí, | sí |
Clases de equivalencia de hamiltonianos
Un hamiltoniano masivo en un grupo de simetría particular está restringido a ser una matriz hermitiana sin valores propios de energía cero (es decir, de modo que el espectro está "separado" y el sistema es un aislante masivo) satisfaciendo las restricciones de simetría del grupo. En el caso de dimensiones, este hamiltoniano es una función continua de El parámetros en el vector de impulso de Bloch en la zona de Brillouin ; entonces las restricciones de simetría deben ser válidas para todos.
Dado dos hamiltonianos y , es posible deformar continuamente dentro mientras se mantiene la restricción de simetría y la brecha (es decir, existe una función continua tal que para todos el hamiltoniano no tiene valor propio cero y la condición de simetría se mantiene, y y ). Entonces decimos que y son equivalentes.
Sin embargo, también puede resultar que no exista tal deformación continua. en este caso, físicamente si dos materiales con hamiltonianos a granel y respectivamente vecinas entre sí con un borde entre ellos, cuando uno se mueve continuamente a través del borde, debe encontrar un valor propio cero (ya que no hay una transformación continua que lo evite). Esto puede manifestarse como un modo de borde de energía cero sin espacios o una corriente eléctrica que solo fluye a lo largo del borde.
Una pregunta interesante es preguntar, dada una clase de simetría y una dimensión de la zona de Brillouin, cuáles son todas las clases de equivalencia de los hamiltonianos. Cada clase de equivalencia puede etiquetarse mediante un invariante topológico; dos hamiltonianos cuyas invariantes topológicas son diferentes no pueden deformarse entre sí y pertenecen a clases de equivalencia diferentes.
Clasificando espacios de hamiltonianos
Para cada una de las clases de simetría, la cuestión puede simplificarse deformando el hamiltoniano en un hamiltoniano "proyectivo" y considerando el espacio simétrico en el que viven esos hamiltonianos. Estos espacios de clasificación se muestran para cada clase de simetría: [2]
Clase de simetría | Espacio de clasificación | de Clasificar el Espacio |
---|---|---|
A | ||
AIII | ||
AI | ||
BDI | ||
D | ||
DIII | ||
AII | ||
CII | ||
C | ||
CI |
Por ejemplo, un hamiltoniano (simétrico real) en la clase de simetría AI puede tener su valores propios positivos deformados a +1 y su valores propios negativos deformados a -1; las matrices resultantes se describen mediante la unión de Grassmannianos reales
Clasificación de invariantes
Los fuertes invariantes topológicos de un sistema de muchas bandas en Las dimensiones pueden ser etiquetadas por los elementos del -ésimo grupo de homotopía del espacio simétrico. Estos grupos se muestran en esta tabla, llamada tabla periódica de aisladores topológicos:
Clase de simetría | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
A | |||||||||
AIII | |||||||||
AI | |||||||||
BDI | |||||||||
D | |||||||||
DIII | |||||||||
AII | |||||||||
CII | |||||||||
C | |||||||||
CI |
También pueden existir invariantes topológicos débiles (asociados al hecho de que la suspensión de la zona de Brillouin es de hecho equivalente a una esfera acuñada con esferas de dimensiones inferiores), que no se incluyen en esta tabla. Además, la tabla asume el límite de un número infinito de bandas, es decir, implica Hamiltonianos para .
La tabla también es periódica en el sentido de que el grupo de invariantes en dimensiones es el mismo que el grupo de invariantes en dimensiones. En el caso de que no haya simetrías antiunitarias, los grupos invariantes tienen una dimensión periódica por 2.
Para las clases de simetría no trivial, el invariante real puede definirse mediante una de las siguientes integrales sobre toda o parte de la zona de Brillouin: el número de Chern , el número de bobinado de Wess Zumino, el invariante de Chern-Simons, el invariante de Fu-Kane.
Reducción dimensional y Bott Clock
La tabla periódica también muestra una propiedad peculiar: los grupos invariantes en Las dimensiones son idénticas a las de dimensiones pero en una clase de simetría diferente. Entre las clases de simetría compleja, el grupo invariante para A en dimensiones es la misma que para AIII en dimensiones y viceversa. También se puede imaginar la disposición de cada una de las ocho clases de simetría real en el plano cartesiano de manera que el coordinar es si la simetría de inversión del tiempo está presente y si está ausente, y el coordinar es si la simetría de huecos de partículas está presente y si está ausente. Entonces el grupo invariante en dimensiones para una cierta clase de simetría real es el mismo que el grupo invariante en dimensiones para la clase de simetría directamente un espacio en el sentido de las agujas del reloj. Alexei Kitaev denominó este fenómeno el "reloj de Bott" , en referencia al teorema de periodicidad de Bott . [1] [3]
El reloj de Bott se puede entender considerando el problema de las extensiones del álgebra de Clifford . [1] Cerca de una interfaz entre dos materiales a granel desiguales, el hamiltoniano se acerca a un cierre de brechas. A la expansión de orden más bajo en el impulso ligeramente alejado del cierre de la brecha, el hamiltoniano toma la forma de un hamiltoniano de Dirac. Aquí, son una representación del Álgebra de Clifford , tiempo es un "término de masa" agregado que se contrarresta con el resto del hamiltoniano y desaparece en la interfaz (lo que le da a la interfaz un modo de borde sin espacios en ). La término para el hamiltoniano en un lado de la interfaz no se puede deformar continuamente en el término para el hamiltoniano en el otro lado de la interfaz. Así (dejando ser un escalar positivo arbitrario) el problema de clasificar los invariantes topológicos se reduce al problema de clasificar todas las posibles elecciones no equivalentes de para extender el álgebra de Clifford a una dimensión superior, manteniendo las restricciones de simetría.
Referencias
- Altland, Alexander; Zirnbauer, Martin R. (1997). "Nuevas clases de simetría en estructuras híbridas mesoscópicas normales-superconductoras". Physical Review B . 55 : 1142. arXiv : cond-mat / 9602137 . Código Bibliográfico : 1997PhRvB..55.1142A . doi : 10.1103 / PhysRevB.55.1142 .
- ^ a b c Chiu, C .; J. Teo; A. Schnyder; S. Ryu (2016). "Clasificación de la materia cuántica topológica con simetrías". Rev. Mod. Phys . 88 (035005). arXiv : 1505.03535 . Código Bibliográfico : 2016RvMP ... 88c5005C . doi : 10.1103 / RevModPhys.88.035005 .
- ^ Kitaev, Alexei . Tabla periódica para aislantes topológicos y superconductores, AIP Conference Proceedings 1134 , 22 (2009); doi : 10.1063 / 1.3149495 , arXiv : 0901.2686
- ^ Ryu, Shinsei. "Aproximación general a la clasificación topológica" . Topología en materia condensada . Consultado el 30 de abril de 2018 .
enlaces externos
- Báez, John C. (19 de julio de 2014). "El camino de diez veces (parte 1)" . El Café de categoría n . Consultado el 26 de octubre de 2018 .