En física, la conexión de Berry y la curvatura de Berry son conceptos relacionados que pueden verse, respectivamente, como un potencial indicador local y un campo indicador asociado con la fase Berry o la fase geométrica. Estos conceptos fueron introducidos por Michael Berry en un artículo publicado en 1984 [1] que enfatiza cómo las fases geométricas proporcionan un concepto unificador poderoso en varias ramas de la física clásica y cuántica .
Fase de baya y evolución adiabática cíclica
En mecánica cuántica, la fase Berry surge en una evolución adiabática cíclica . El teorema adiabático cuántico se aplica a un sistema cuyo hamiltoniano depende de un parámetro (vector) que varía con el tiempo . Si el'el valor propio permanece no degenerado en todas partes a lo largo del camino y la variación con el tiempo t es suficientemente lenta, entonces un sistema inicialmente en el estado propio permanecerá en un estado propio instantáneo del hamiltoniano , hasta una fase, durante todo el proceso. Con respecto a la fase, el estado en el momento t se puede escribir como [2]
donde el segundo término exponencial es el "factor de fase dinámica". El primer término exponencial es el término geométrico, consiendo la fase Berry. Desde el requisito de quesatisfacen la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo , se puede demostrar que
lo que indica que la fase Berry solo depende de la ruta en el espacio de parámetros, no de la velocidad a la que se atraviesa la ruta.
En el caso de una evolución cíclica alrededor de un camino cerrado tal que , la fase Berry de camino cerrado es
Un ejemplo de sistema físico en el que un electrón se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada es el movimiento del ciclotrón (los detalles se dan en la página de la fase Berry ). Se debe considerar la fase de baya para obtener la condición de cuantificación correcta.
Transformación de calibre
Se puede realizar una transformación de calibre
a un nuevo conjunto de estados que difieren de los originales sólo por un -factor de fase dependiente. Esto modifica la fase Berry de camino abierto para que sea. Para un camino cerrado, la continuidad requiere que ( un entero), y se sigue que es invariante, modulo , bajo una transformación de calibre arbitraria.
Conexión Berry
La fase Berry de camino cerrado definida anteriormente se puede expresar como
dónde
es una función con valores vectoriales conocida como conexión Berry (o potencial Berry). La conexión Berry depende del calibre, transformándose como. De ahí la conexión local de Berrynunca puede ser observable físicamente. Sin embargo, su integral a lo largo de un camino cerrado, la fase Berry, es invariante de calibre hasta un múltiplo entero de . Por lo tanto, es absolutamente invariante de calibre y puede estar relacionado con observables físicos.
Curvatura de baya
La curvatura de Berry es un tensor antisimétrico de segundo rango derivado de la conexión de Berry a través de
En un espacio de parámetros tridimensional, la curvatura de Berry se puede escribir en forma de pseudovector
Las formas tensorial y pseudovectorial de la curvatura Berry están relacionadas entre sí a través del tensor antisimétrico Levi-Civita como. En contraste con la conexión de Berry, que es física solo después de integrarse alrededor de una trayectoria cerrada, la curvatura de Berry es una manifestación local invariante de calibre de las propiedades geométricas de las funciones de onda en el espacio de parámetros, y ha demostrado ser un ingrediente físico esencial para comprender una variedad de propiedades electrónicas. [3] [4]
Por un camino cerrado que forma el límite de una superficie , la fase Berry de camino cerrado se puede reescribir usando el teorema de Stokes como
Si la superficie es una variedad cerrada, el término límite desaparece, pero la indeterminación del término límite módulo se manifiesta en el teorema de Chern , que establece que la integral de la curvatura de Berry sobre una variedad cerrada se cuantifica en unidades de. Este número es el llamado número de Chern y es esencial para comprender varios efectos de cuantificación.
Finalmente, tenga en cuenta que la curvatura de Berry también se puede escribir como una suma sobre todos los demás estados propios en la forma
Ejemplo: Spinor en un campo magnético
El hamiltoniano de una partícula de espín-1/2 en un campo magnético se puede escribir como [2]
dónde denotar las matrices de Pauli ,es el momento magnético y B es el campo magnético. En tres dimensiones, los autoestados tienen energías. y sus autovectores son
Ahora considere el Expresar. Su conexión Berry se puede calcular como , y la curvatura de Berry es Si elegimos un nuevo calibre multiplicando por , las conexiones de Berry son y , mientras que la curvatura de Berry sigue siendo la misma. Esto es consistente con la conclusión de que la conexión Berry depende del calibre, mientras que la curvatura Berry no lo es.
La curvatura de Berry por ángulo sólido está dada por . En este caso, la fase Berry correspondiente a cualquier camino dado en la esfera unitariaen el espacio del campo magnético es sólo la mitad del ángulo sólido subtendido por la trayectoria. Por tanto, la integral de la curvatura de Berry sobre toda la esfera es exactamente, de modo que el número de Chern es la unidad, consistente con el teorema de Chern.
Aplicaciones en cristales
La fase Berry juega un papel importante en las investigaciones modernas de propiedades electrónicas en sólidos cristalinos [4] y en la teoría del efecto Hall cuántico . [5] La periodicidad del potencial cristalino permite la aplicación del teorema de Bloch , que establece que los estados propios hamiltonianos toman la forma
dónde es un índice de banda, es un vector de onda en el espacio recíproco ( zona de Brillouin ), y es una función periódica de . Entonces, dejando desempeñar el papel del parámetro , se pueden definir fases, conexiones y curvaturas de Berry en el espacio recíproco. Por ejemplo, la conexión Berry en el espacio recíproco es
Debido a que el teorema de Bloch también implica que el espacio recíproco en sí mismo es cerrado, con la zona de Brillouin con la topología de un toro tridimensional en tres dimensiones, los requisitos de integración en un bucle cerrado o múltiple pueden satisfacerse fácilmente. De esta manera, propiedades como la polarización eléctrica , la magnetización orbital , la conductividad de Hall anómala y el acoplamiento magnetoeléctrico orbital se pueden expresar en términos de fases, conexiones y curvaturas de Berry. [4] [6] [7]
Referencias
- ^ Berry, MV (1984). "Factores de fase cuántica que acompañan a los cambios adiabáticos". Proceedings of the Royal Society A . 392 (1802): 45–57. Código Bib : 1984RSPSA.392 ... 45B . doi : 10.1098 / rspa.1984.0023 .
- ^ a b Sakurai, JJ (2005). Mecánica cuántica moderna . Edición revisada. Addison – Wesley.
- ^ Resta, Raffaele (2000). "Manifestaciones de la fase de Berry en moléculas y en materia condensada". J. Phys .: Condens. Materia . 12 (9): R107 – R143. Código Bib : 2000JPCM ... 12R.107R . doi : 10.1088 / 0953-8984 / 12/9/201 . S2CID 55261008 .
- ^ a b c Xiao, Di; Chang, Ming-Che; Niu, Qian (julio de 2010). "Efectos de la fase de la baya sobre las propiedades electrónicas". Rev. Mod. Phys . 82 (3): 1959-2007. arXiv : 0907.2021 . Código Bibliográfico : 2010RvMP ... 82.1959X . doi : 10.1103 / RevModPhys.82.1959 .
- ^ Tú, DJ; Kohmoto, M .; Nightingale, diputado; den Nijs, M. (agosto de 1982). "Conductancia Hall cuantificada en un potencial periódico bidimensional" . Phys. Rev. Lett . Sociedad Estadounidense de Física. 49 (6): 405–408. Código Bibliográfico : 1982PhRvL..49..405T . doi : 10.1103 / PhysRevLett.49.405 .
- ^ Chang, Ming-Che; Niu, Qian (2008). "Curvatura de baya, momento orbital y teoría cuántica efectiva de electrones en campos electromagnéticos". Revista de física: materia condensada . 20 (19): 193202. Código Bibliográfico : 2008JPCM ... 20s3202C . doi : 10.1088 / 0953-8984 / 20/19/193202 .
- ^ Resta, Raffaele (2010). "Polarización eléctrica y magnetización orbital: las teorías modernas". J. Phys .: Condens. Materia . 22 (12): 123201. Código Bibliográfico : 2010JPCM ... 22l3201R . doi : 10.1088 / 0953-8984 / 22/12/123201 . PMID 21389484 . S2CID 18645988 .
enlaces externos
- La fase cuántica, cinco años después. por M. Berry.
- Fases y curvaturas de las bayas en la teoría de la estructura electrónica Una charla de D. Vanderbilt.
- Berry-ology, efectos magnetoeléctricos orbitales y aislantes topológicos : una charla de D. Vanderbilt.