Teorema del eje perpendicular

El teorema del eje perpendicular establece que el momento de inercia de una lámina plana (es decir, un cuerpo bidimensional) alrededor de un eje perpendicular al plano de la lámina es igual a la suma de los momentos de inercia de la lámina alrededor de los dos ejes de la derecha. ángulos entre sí, en su propio plano que se cruzan en el punto donde el eje perpendicular pasa a través de él.

Definir ejes perpendiculares , y (que se encuentran en el origen ) de modo que las mentiras del cuerpo en el plano, y el eje es perpendicular al plano del cuerpo. Sean I _x , I _y e I _z momentos de inercia con respecto al eje x, y, z respectivamente, el teorema del eje perpendicular establece que ^[1]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle O}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}}$

Esta regla se puede aplicar con el teorema del eje paralelo y la regla de estiramiento para encontrar momentos polares de inercia para una variedad de formas.

Si un objeto plano (o prisma, según la regla del estiramiento ) tiene una simetría rotacional tal que y son iguales ^[2] , entonces el teorema de los ejes perpendiculares proporciona la relación útil:${\displaystyle I_{x}}$${\displaystyle I_{y}}$

${\displaystyle I_{z}=2I_{x}=2I_{y}}$

Derivación

Trabajando en coordenadas cartesianas, el momento de inercia del cuerpo plano sobre el eje viene dado por: ^[3]${\displaystyle z}$

${\displaystyle I_{z}=\int \left(x^{2}+y^{2}\right)\,dm=\int x^{2}\,dm+\int y^{2}\,dm=I_{y}+I_{x}}$

En el plano,, entonces estos dos términos son los momentos de inercia con respecto a los ejes y respectivamente, dando el teorema del eje perpendicular. El inverso de este teorema también se deriva de manera similar.${\displaystyle z=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Tenga en cuenta que debido a que en , r mide la distancia desde el eje de rotación , para una rotación del eje y, la distancia de desviación desde el eje de rotación de un punto es igual a su coordenada x.${\displaystyle \int x^{2}\,dm=I_{y}\neq I_{x}}$${\displaystyle \int r^{2}\,dm}$

Referencias

1. Paul A. Tipler (1976). "Cap. 12: Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje fijo". Física . Worth Publishers Inc. ISBN 0-87901-041-X.
2. Obregón, Joaquín (2012). Simmetría mecánica . Casa de autor. ISBN 978-1-4772-3372-6.
3. KF Riley, MP Hobson y SJ Bence (2006). "Cap. 6: Integrales múltiples". Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-67971-8.

Ver también

• Teorema del eje paralelo
• Regla de estiramiento