En dinámica , una restricción de Pfaffian es una forma de describir un sistema dinámico en la forma:
dónde es el número de ecuaciones en un sistema de restricciones.
Los sistemas holonómicos siempre se pueden escribir en forma de restricción de Pfaffian.
Derivación
Dado un sistema holonómico descrito por un conjunto de ecuaciones de restricción holonómicas
dónde son las n coordenadas generalizadas que describen el sistema, y donde es el número de ecuaciones en un sistema de restricciones, podemos diferenciar por la regla de la cadena para cada ecuación:
Mediante una simple sustitución de nomenclatura llegamos a:
Ejemplos de
Péndulo
Considere un péndulo. Debido a que el brazo restringe el movimiento del peso, el vector de velocidad del peso debe ser perpendicular en todo momento al vector de posición . Como estos vectores son siempre ortogonales, su producto escalar debe ser cero. Tanto la posición como la velocidad de la masa se pueden definir en términos de- sistema coordinado:
Simplificando los rendimientos del producto escalar:
Multiplicamos ambos lados por . Esto da como resultado la forma de Pfaffian de la ecuación de restricción:
Esta forma de Pfaffian es útil, ya que podemos integrarla para resolver la ecuación de restricción holonómica del sistema, si existe. En este caso, la integración es bastante trivial:
Donde C es la constante de integración.
Y convencionalmente, podemos escribir:
El termino se eleva al cuadrado simplemente porque debe ser un número positivo; al ser un sistema físico, todas las dimensiones deben ser números reales . En efecto, es la longitud del brazo del péndulo.
Robótica
En la planificación del movimiento del robot , una restricción de Pfaffian es un conjunto de k restricciones linealmente independientes lineales en velocidad, es decir, de la forma
Una fuente de limitaciones de Pfaffian es rodar sin resbalar en robots con ruedas . [2]