En la teoría de los espacios vectoriales , se dice que un conjunto de vectores eslinealmente dependiente si hay unacombinación linealno trivialde los vectores que es igual al vector cero. Si no existe tal combinación lineal, se dice que los vectores sonlinealmente independientes . Estos conceptos son fundamentales para la definición dedimensión. [1]
Un espacio vectorial puede ser de dimensión finita o infinita dependiendo del número máximo de vectores linealmente independientes. La definición de dependencia lineal y la capacidad de determinar si un subconjunto de vectores en un espacio vectorial es linealmente dependiente son fundamentales para determinar la dimensión de un espacio vectorial.
Definición
Una secuencia de vectores de un espacio vectorial V se dice que es linealmente dependiente , si existen escalares no todo cero, tal que
dónde denota el vector cero.
Esto implica que al menos uno de los escalares es distinto de cero, digamos , y la ecuación anterior se puede escribir como
Si y Si
Por lo tanto, un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si uno de ellos es cero o una combinación lineal de los demás.
Una secuencia de vectores se dice que es linealmente independiente si no es linealmente dependiente, es decir, si la ecuación
solo puede ser satisfecho por por Esto implica que ningún vector de la secuencia puede representarse como una combinación lineal de los vectores restantes de la secuencia. En otras palabras, una secuencia de vectores es linealmente independiente si la única representación de como una combinación lineal de sus vectores es la representación trivial en la que todos los escalares son cero. [2] De manera aún más concisa, una secuencia de vectores es linealmente independiente si y solo si se puede representar como una combinación lineal de sus vectores de una manera única.
Si una secuencia de vectores contiene dos veces el mismo vector, es necesariamente dependiente. La dependencia lineal de una secuencia de vectores no depende del orden de los términos en la secuencia. Esto permite definir la independencia lineal para un conjunto finito de vectores: Un conjunto finito de vectores es linealmente independiente si la secuencia obtenida al ordenarlos es linealmente independiente. En otras palabras, uno tiene el siguiente resultado que a menudo es útil.
Una secuencia de vectores es linealmente independiente si y solo si no contiene dos veces el mismo vector y el conjunto de sus vectores es linealmente independiente.
Caso infinito
Un conjunto infinito de vectores es linealmente independiente si todo subconjunto finito no vacío es linealmente independiente. A la inversa, un conjunto infinito de vectores es linealmente dependiente si contiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente, o de manera equivalente, si algún vector en el conjunto es una combinación lineal de otros vectores en el conjunto.
Una familia de vectores indexada es linealmente independiente si no contiene dos veces el mismo vector y si el conjunto de sus vectores es linealmente independiente. De lo contrario, se dice que la familia es linealmente dependiente .
Un conjunto de vectores que es linealmente independiente y abarca algún espacio vectorial, forma una base para ese espacio vectorial. Por ejemplo, el espacio vectorial de todos los polinomios en x sobre los reales tiene el subconjunto (infinito) {1, x , x 2 , ...} como base.
Significado geométrico
Un ejemplo geográfico puede ayudar a aclarar el concepto de independencia lineal. Una persona que describa la ubicación de un lugar determinado podría decir: "Está a 3 millas al norte y 4 millas al este de aquí". Esta es información suficiente para describir la ubicación, porque el sistema de coordenadas geográficas puede considerarse como un espacio vectorial bidimensional (ignorando la altitud y la curvatura de la superficie de la Tierra). La persona podría agregar: "El lugar está a 5 millas al noreste de aquí". Si bien esta última afirmación es cierta , no es necesaria.
En este ejemplo, el vector "3 millas al norte" y el vector "4 millas al este" son linealmente independientes. Es decir, el vector norte no se puede describir en términos del vector este y viceversa. El tercer vector "5 millas al noreste" es una combinación lineal de los otros dos vectores, y hace que el conjunto de vectores sea linealmente dependiente , es decir, uno de los tres vectores es innecesario.
También tenga en cuenta que si no se ignora la altitud, es necesario agregar un tercer vector al conjunto linealmente independiente. En general, se requieren n vectores linealmente independientes para describir todas las ubicaciones en el espacio n -dimensional.
Evaluación de la independencia lineal
El vector cero
Si uno o más vectores de una secuencia de vectores dada es el vector cero entonces el vector son necesariamente linealmente dependientes (y, en consecuencia, no son linealmente independientes). Para ver por qué, suponga que es un índice (es decir, un elemento de ) tal que Entonces deja (alternativamente, dejando ser igual cualquier otro escalar distinto de cero también funcionará) y luego dejar que todos los demás escalares sean (explícitamente, esto significa que para cualquier índice otro que (es decir, para ), dejar para que consecuentemente ). Simplificando da:
Porque no todos los escalares son cero (en particular, ), esto prueba que los vectores son linealmente dependientes.
Como consecuencia, el vector cero no puede pertenecer a cualquier colección de vectores que es linealmente en dependiente.
Ahora considere el caso especial donde la secuencia de tiene longitud (es decir, el caso donde ). Una colección de vectores que consta exactamente de un vector es linealmente dependiente si y solo si ese vector es cero. Explícitamente, si es cualquier vector, entonces la secuencia (que es una secuencia de longitud ) es linealmente dependiente si y solo si ; alternativamente, la colección es linealmente independiente si y solo si
Dependencia lineal e independencia de dos vectores.
Este ejemplo considera el caso especial donde hay exactamente dos vectores y desde algún espacio vectorial real o complejo. Los vectores y son linealmente dependientes si y solo si al menos uno de los siguientes es verdadero:
- es un múltiplo escalar de (explícitamente, esto significa que existe un escalar tal que ) o
- es un múltiplo escalar de (explícitamente, esto significa que existe un escalar tal que ).
Si luego estableciendo tenemos (esta igualdad se mantiene sin importar el valor de es), lo que muestra que (1) es cierto en este caso particular. Del mismo modo, si entonces (2) es cierto porque Si (por ejemplo, si ambos son iguales al vector cero ) entonces tanto (1) como (2) son verdaderos (usando para ambos).
Si luego solo es posible si y ; en este caso, es posible multiplicar ambos lados por para concluir Esto muestra que si y entonces (1) es verdadero si y solo si (2) es verdadero; Es decir, en este caso particular, ya sea ambos (1) y (2) son verdaderas (y los vectores son linealmente dependientes), o bien ambos (1) y (2) son falsas (y los vectores son linealmente en dependiente). Si pero en lugar entonces al menos uno de y debe ser cero. Además, si exactamente uno de y es (mientras que el otro es distinto de cero) entonces exactamente uno de (1) y (2) es verdadero (siendo el otro falso).
Los vectores y son linealmente en dependientes si y sólo si no es un múltiplo escalar de y no es un múltiplo escalar de .
Vectores en R 2
Tres vectores: considere el conjunto de vectores y entonces la condición de dependencia lineal busca un conjunto de escalares distintos de cero, tal que
o
Row reduce esta ecuación matricial restando la primera fila de la segunda para obtener,
Continúe la reducción de filas (i) dividiendo la segunda fila por 5, y luego (ii) multiplicando por 3 y sumando a la primera fila, es decir
Reordenar esta ecuación nos permite obtener
lo que muestra que un i distinto de cero existe tal que se puede definir en términos de y Por tanto, los tres vectores son linealmente dependientes.
Dos vectores: ahora considere la dependencia lineal de los dos vectores y y comprobar,
o
La misma reducción de hileras presentada anteriormente rinde,
Esto muestra que lo que significa que los vectores v 1 = (1, 1) y v 2 = (−3, 2) son linealmente independientes.
Vectores en R 4
Para determinar si los tres vectores en
son linealmente dependientes, forman la ecuación matricial,
Row reduce esta ecuación para obtener,
Reorganizar para resolver para v 3 y obtener,
Esta ecuación se resuelve fácilmente para definir una i distinta de cero ,
dónde se puede elegir arbitrariamente. Así, los vectores y son linealmente dependientes.
Método alternativo que utiliza determinantes
Un método alternativo se basa en el hecho de que vectores en son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz formada tomando los vectores como sus columnas es distinto de cero.
En este caso, la matriz formada por los vectores es
Podemos escribir una combinación lineal de columnas como
Nos interesa saber si A Λ = 0 para algún vector Λ distinto de cero. Esto depende del determinante de, cual es
Dado que el determinante es distinto de cero, los vectores y son linealmente independientes.
De lo contrario, suponga que tenemos vectores de coordenadas, con Entonces A es una matriz n × my Λ es un vector columna conentradas, y nuevamente estamos interesados en A Λ = 0 . Como vimos anteriormente, esto equivale a una lista deecuaciones. Considere el primero filas de , el primero ecuaciones cualquier solución de la lista completa de ecuaciones también debe ser cierta para la lista reducida. De hecho, si ⟨ i 1 , ..., i m ⟩ es cualquier lista de filas, entonces la ecuación debe ser verdadera para esas filas.
Además, ocurre lo contrario. Es decir, podemos probar si el los vectores son linealmente dependientes probando si
para todas las posibles listas de filas. (En caso, esto requiere solo un determinante, como el anterior. Si, entonces es un teorema que los vectores deben ser linealmente dependientes.) Este hecho es valioso para la teoría; en los cálculos prácticos se dispone de métodos más eficientes.
Más vectores que dimensiones
Si hay más vectores que dimensiones, los vectores son linealmente dependientes. Esto se ilustra en el ejemplo anterior de tres vectores en
Vectores de base natural
Dejar y considere los siguientes elementos en , conocidos como los vectores de base natural :
Luego son linealmente independientes.
Prueba |
---|
Suponer que son números reales tales que Desde luego para todos |
Independencia lineal de funciones
Dejar ser el espacio vectorial de todas las funciones diferenciables de una variable real. Entonces las funciones y en son linealmente independientes.
Prueba
Suponer y son dos números reales tales que
Tome la primera derivada de la ecuación anterior:
para todos los valores de Tenemos que demostrar que y Para hacer esto, restamos la primera ecuación de la segunda, dando . Desde no es cero para algunos , Resulta que también. Por tanto, de acuerdo con la definición de independencia lineal, y son linealmente independientes.
Espacio de dependencias lineales
Una dependencia lineal o relación lineal entre vectores v 1 , ..., v n es una tupla ( a 1 , ..., a n ) con n componentes escalares tales que
Si existe tal dependencia lineal con al menos un componente distinto de cero, entonces los n vectores son linealmente dependientes. Las dependencias lineales entre v 1 , ..., v n forman un espacio vectorial.
Si los vectores se expresan por sus coordenadas, entonces las dependencias lineales son las soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales , con las coordenadas de los vectores como coeficientes. Por tanto, una base del espacio vectorial de dependencias lineales puede calcularse mediante eliminación gaussiana .
Independencia afín
Se dice que un conjunto de vectores es afínmente dependiente si al menos uno de los vectores del conjunto puede definirse como una combinación afín de los demás. De lo contrario, el conjunto se llama afinamente independiente . Cualquier combinación afín es una combinación lineal; por lo tanto, cada conjunto afinamente dependiente es linealmente dependiente. A la inversa, todo conjunto linealmente independiente es afínmente independiente.
Considere un conjunto de vectores de tamaño cada uno, y considere el conjunto de vectores aumentados de tamaño cada. Los vectores originales son afinamente independientes si y solo si los vectores aumentados son linealmente independientes. [3] : 256
Ver también: espacio afín .
Ver también
- Matroid : estructura abstracta que modela y generaliza la independencia lineal
Referencias
- ^ GE Shilov, Álgebra lineal (Trans. RA Silverman), Publicaciones de Dover, Nueva York, 1977.
- ^ Friedberg, Insel, Spence, Stephen, Arnold, Lawrence (2003). Álgebra lineal . Pearson, cuarta edición. págs. 48–49. ISBN 0130084514.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Lovász, László ; Plummer, MD (1986), Teoría de emparejamiento , Annals of Discrete Mathematics, 29 , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-87916-1, MR 0859549
enlaces externos
- "Independencia lineal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Funciones linealmente dependientes en WolframMathWorld.
- Programa tutorial e interactivo sobre Independencia lineal.
- Introducción a la independencia lineal en KhanAcademy.