teorema de pick
En geometría , el teorema de Pick proporciona una fórmula para el área de un polígono simple con coordenadas de vértice enteras , en términos del número de puntos enteros dentro de él y en su límite. El resultado fue descrito por primera vez por Georg Alexander Pick en 1899. [1] Hugo Steinhaus lo popularizó en inglés en la edición de 1950 de su libro Mathematical Snapshots . [2] [3] Tiene múltiples demostraciones y puede generalizarse a fórmulas para ciertos tipos de polígonos no simples.
Supongamos que un polígono tiene coordenadas enteras para todos sus vértices. Sea el número de puntos enteros que están en el interior del polígono, y sea el número de puntos enteros en su límite (incluidos los vértices y los puntos a lo largo de los lados del polígono). Entonces el área de este polígono es: [4] [5] [6] [7]
Una prueba de este teorema consiste en subdividir el polígono en triángulos con tres vértices enteros y ningún otro punto entero. Entonces se puede probar que cada triángulo subdividido tiene un área exactamente . Por lo tanto, el área de todo el polígono es igual a la mitad del número de triángulos en la subdivisión. Después de relacionar el área con el número de triángulos de esta manera, la prueba concluye utilizando la fórmula poliédrica de Euler para relacionar el número de triángulos con el número de puntos de la cuadrícula en el polígono. [4]
La primera parte de esta prueba muestra que un triángulo con tres vértices enteros y ningún otro punto entero tiene un área exactamente , como establece la fórmula de Pick. La prueba utiliza el hecho de que todos los triángulos forman mosaicos en el plano , con triángulos adyacentes girados 180° entre sí alrededor de su borde compartido. [8]Para mosaicos por un triángulo con tres vértices enteros y ningún otro punto entero, cada punto de la cuadrícula entera es un vértice de seis mosaicos. Como el número de triángulos por punto de cuadrícula (seis) es el doble del número de puntos de cuadrícula por triángulo (tres), los triángulos tienen el doble de densidad en el plano que los puntos de cuadrícula. Cualquier región escalada del plano contiene el doble de triángulos (en el límite cuando el factor de escala tiende al infinito) que el número de puntos de cuadrícula que contiene. Por lo tanto, cada triángulo tiene área , según sea necesario para la demostración. [4] Una prueba diferente de que estos triángulos tienen área se basa en el uso del teorema de Minkowski sobre puntos de red en conjuntos convexos simétricos. [9]
Esto ya prueba la fórmula de Pick para un polígono que es uno de estos triángulos especiales. Cualquier otro polígono se puede subdividir en triángulos especiales. Para hacerlo, agregue segmentos de línea que no se crucen dentro del polígono entre pares de puntos de cuadrícula hasta que no se puedan agregar más segmentos de línea. Los únicos polígonos que no se pueden subdividir en formas más pequeñas de esta manera son los triángulos especiales considerados anteriormente. Por lo tanto, solo pueden aparecer triángulos especiales en la subdivisión resultante. Debido a que cada triángulo especial tiene área , un polígono de área se subdividirá en triángulos especiales. [4]
