Interpolación de Nevanlinna-Pick

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En el análisis complejo , dados los datos iniciales que consisten en puntos en el disco unitario complejo y los datos objetivo que consisten en puntos en , el problema de interpolación de Nevanlinna-Pick consiste en encontrar una función holomorfa que interpole los datos, es decir, para todos ,${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$${\ estilo de visualización \ mathbb {D}}$${\ estilo de visualización n}$${\displaystyle z_{1},\ldots,z_{n}}$${\ estilo de visualización \ mathbb {D}}$ ${\ estilo de visualización \ varphi}$${\ estilo de visualización i}$

sujeto a la restricción para todos .${\ estilo de visualización \ izquierda \ vert \ varphi (\ lambda) \ derecha \ vert \ leq 1}$${\ estilo de visualización \ lambda \ en \ mathbb {D}}$

Georg Pick y Rolf Nevanlinna resolvieron el problema de forma independiente en 1916 y 1919 respectivamente, mostrando que existe una función de interpolación si y solo si una matriz definida en términos de los datos inicial y objetivo es semidefinida positiva .

El teorema de Nevanlinna-Pick representa una generalización de puntos del lema de Schwarz . La forma invariante del lema de Schwarz establece que para una función holomorfa , para todo ,${\ estilo de visualización n}$${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {D} }$${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ en \ mathbb {D}}$

Estableciendo , esta desigualdad es equivalente al enunciado de que la matriz dada por${\ estilo de visualización f (\ lambda _ {i}) = z_ {i}}$

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