Azulejos de molinete
En geometría , los mosaicos de molinete son mosaicos no periódicos definidos por Charles Radin y basados en una construcción debida a John Conway . Son los primeros mosaicos no periódicos conocidos que tienen la propiedad de que sus mosaicos aparecen en infinitas orientaciones.
Vamos a ser el triángulo rectángulo con una longitud de lado , y . Conway notó que se puede dividir en cinco copias isométricas de su imagen por la dilatación del factor .
Al cambiar la escala y trasladar / rotar adecuadamente, esta operación se puede iterar para obtener una secuencia creciente infinita de triángulos crecientes, todos hechos de copias isométricas de . La unión de todos estos triángulos produce un mosaico de todo el plano mediante copias isométricas de .
En este mosaico, las copias isométricas de aparecen en infinitas orientaciones (esto se debe a los ángulos y de , ambos no conmensurables con ). A pesar de esto, todos los vértices tienen coordenadas racionales.
Radin se basó en la construcción anterior de Conway para definir los mosaicos de molinete. Formalmente, los mosaicos en forma de molinete son los mosaicos cuyos mosaicos son copias isométricas de , en los que un mosaico puede cruzarse con otro mosaico solo en un lado completo o en la mitad del lado longitudinal , y de tal manera que se mantenga la siguiente propiedad. Dado cualquier mosaico de molinete , hay un mosaico de molinete que, una vez que cada mosaico se divide en cinco siguiendo la construcción de Conway y el resultado se dilata por un factor , es igual a . En otras palabras, los mosaicos de cualquier mosaico de molinete se pueden agrupar en conjuntos de cinco en mosaicos homotéticos, de modo que estos mosaicos homotéticos formen (hasta reescalar) un nuevo mosaico de molinete.
El mosaico construido por Conway es un mosaico de molinete, pero hay incontables otros mosaicos de molinete diferentes. Todos son localmente indistinguibles ( es decir , tienen los mismos parches finitos). Todos comparten con el mosaico de Conway la propiedad de que los mosaicos aparecen en infinitas orientaciones (y los vértices tienen coordenadas racionales).
