El juego de piratas es un juego matemático simple . Es una versión multijugador del juego de ultimátum .
El juego
Hay cinco piratas racionales (en estricto orden de antigüedad A, B, C, D y E) que encontraron 100 monedas de oro. Deben decidir cómo distribuirlos.
Las reglas de distribución del mundo pirata dicen que el pirata de mayor rango primero propone un plan de distribución. Los piratas, incluido el proponente, votan si aceptan esta distribución. Si la mayoría acepta el plan, las monedas se dispersan y el juego termina. En caso de empate en la votación, el proponente tiene voto de calidad . Si la mayoría rechaza el plan, el proponente es arrojado por la borda del barco pirata y muere, y el siguiente pirata más veterano hace una nueva propuesta para comenzar de nuevo el sistema. El proceso se repite hasta que se acepta un plan o si queda un pirata. [1]
Los piratas basan sus decisiones en cuatro factores. En primer lugar, cada pirata quiere sobrevivir. En segundo lugar, dada la supervivencia, cada pirata quiere maximizar la cantidad de monedas de oro que recibe. En tercer lugar, cada pirata preferiría tirar a otro por la borda, si todos los demás resultados fueran iguales. [2] Y finalmente, los piratas no confían entre sí, y no harán ni cumplirán ninguna promesa entre piratas, aparte de un plan de distribución propuesto que otorga una cantidad total de monedas de oro a cada pirata.
El resultado
Para aumentar las posibilidades de que su plan sea aceptado, uno podría esperar que el Pirata A tenga que ofrecer a los otros piratas la mayor parte del oro. Sin embargo, esto está lejos del resultado teórico. Cuando cada uno de los piratas vote, no solo pensarán en la propuesta actual, sino también en otros resultados en el futuro. Además, el orden de antigüedad se conoce de antemano para que cada uno de ellos pueda predecir con precisión cómo votarían los demás en cualquier escenario. Esto se hace evidente si trabajamos al revés.
El escenario final posible haría que todos los piratas, excepto D y E, fueran arrojados por la borda. Dado que D es mayor que E, tiene voto de calidad ; entonces, D propondría quedarse con 100 para él y 0 para E.
Si quedan tres (C, D y E), C sabe que D ofrecerá E 0 en la siguiente ronda; por lo tanto, C tiene que ofrecer a E una moneda en esta ronda para ganar el voto de E. Por lo tanto, cuando solo quedan tres, la asignación es C: 99, D: 0, E: 1.
Si quedan B, C, D y E, B puede ofrecer 1 a D; debido a que B tiene voto de calidad, solo se requiere el voto de D. Por lo tanto, B propone B: 99, C: 0, D: 1, E: 0.
(En la ronda anterior, uno podría considerar proponer B: 99, C: 0, D: 0, E: 1, ya que E sabe que no será posible obtener más monedas, si es que alguna, si E arroja a B por la borda. Pero , ya que cada pirata está ansioso por arrojar a los demás por la borda, E preferiría matar a B para obtener la misma cantidad de oro de C.)
Con este conocimiento, A puede contar con el apoyo de C y E para la siguiente asignación, que es la solución final:
- A: 98 monedas
- B: 0 monedas
- C: 1 moneda
- D: 0 monedas
- E: 1 moneda [2]
(Nota: A: 98, B: 0, C: 0, D: 1, E: 1 u otras variantes no son lo suficientemente buenas, ya que D preferiría tirar A por la borda para obtener la misma cantidad de oro de B.)
Extensión
La solución sigue el mismo patrón general para otros números de piratas y / o monedas. Sin embargo, el juego cambia de carácter cuando se extiende más allá de que haya el doble de piratas que de monedas. Ian Stewart escribió sobre la extensión de Steve Omohundro a un número arbitrario de piratas en la edición de mayo de 1999 de Scientific American y describió el patrón bastante intrincado que surge en la solución. [2]
Suponiendo que solo hay 100 piezas de oro, entonces:
- El pirata # 201 como capitán puede mantenerse con vida solo ofreciendo todo el oro a cada uno de los piratas con el número impar más bajo , sin quedarse con ninguno.
- El pirata # 202 como capitán puede mantenerse con vida solo si no toma oro y ofrece un oro a cada 100 piratas que no recibirían una moneda de oro del # 201. Por lo tanto, hay 101 posibles destinatarios de estos sobornos de una moneda de oro, siendo los 100 piratas de números pares hasta el 200 y el número 201. Dado que no hay restricciones en cuanto a qué 100 de estos 101 elegirá, cualquier elección es igualmente buena y se puede considerar que elige al azar. Así es como el azar comienza a entrar en consideración para los piratas de mayor número.
- El pirata # 203 como capitán no tendrá suficiente oro disponible para sobornar a la mayoría, por lo que morirá.
- El pirata 204 como capitán tiene el voto del 203 asegurado sin sobornos: el 203 solo sobrevivirá si el 204 también sobrevive. Por lo tanto, el # 204 puede permanecer seguro al alcanzar 102 votos sobornando a 100 piratas con una moneda de oro cada uno. Parece más probable que esto funcione sobornando a piratas de números impares, incluido opcionalmente el # 202, que no obtendrán nada del # 203. Sin embargo, también es posible sobornar a otros, ya que solo tienen una probabilidad de 100/101 de que el pirata 202 les ofrezca una moneda de oro.
- Con 205 piratas, todos los piratas de la barra # 205 prefieren matar al # 205 a menos que se les dé oro, por lo que el # 205 está condenado como capitán.
- De manera similar, con 206 o 207 piratas, solo los votos del # 205 al # 206/7 están asegurados sin oro, lo cual es votos insuficientes, por lo que el # 206 y # 207 también están condenados.
- Para 208 piratas, los votos de autoconservación del # 205, # 206 y # 207 sin oro son suficientes para permitir que el # 208 alcance 104 votos y sobreviva.
En general, si G es el número de piezas de oro y N (> 2G) es el número de piratas, entonces
- Todos los piratas cuyo número sea menor o igual a 2G + M sobrevivirán, donde M es la potencia más alta de 2 que no excede N - 2G.
- Cualquier pirata cuyo número supere los 2G + M morirá.
- Cualquier pirata cuyo número sea superior a 2G + M / 2 no recibirá oro.
- No existe una solución única en cuanto a quién obtiene una moneda de oro y quién no si el número de piratas es 2G + 2 o mayor. Una simple solución platos fuera una de oro a los impares o incluso piratas hasta 2G dependiendo de si M es una potencia par o impar de 2.
Otra forma de ver esto es darse cuenta de que cada pirata M tendrá el voto de todos los piratas desde M / 2 + 1 hasta M por autoconservación ya que su supervivencia está asegurada solo con la supervivencia del pirata M. Porque el rango más alto pirata puede romper el empate, el capitán solo necesita los votos de la mitad de los piratas sobre 2G, lo que solo ocurre cada vez que se alcanza (2G + un poder de 2 ). Por ejemplo, con 100 piezas de oro y 500 piratas, los piratas del # 500 al # 457 mueren, y luego el # 456 sobrevive (como 456 = 200 + 2 8 ) ya que tiene los 128 votos de autoconservación garantizados de los piratas # 329 al # 456 , más 100 votos de los piratas a los que soborna, sumando los 228 votos que necesita. Los números de piratas más allá del # 200 que pueden garantizar su supervivencia como capitán con 100 piezas de oro son # 201, # 202, # 204, # 208, # 216, # 232, # 264, # 328, # 456, # 712, etc. .: están separados por cadenas cada vez más largas de piratas que están condenados sin importar la división que propongan.
Ver también
Notas
- ^ Bruce Talbot Coram (1998). Robert E. Goodin (ed.). La teoría del diseño institucional (edición de bolsillo). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 99–100. ISBN 978-0-521-63643-8.
- ^ a b c Stewart, Ian (mayo de 1999), "Un rompecabezas para piratas" (PDF) , Scientific American , págs. 98–99
Referencias
- Robert E. Goodin, ed. (1998). "Capítulo 3: Segundas mejores teorías". La teoría del diseño institucional . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 90-102. ISBN 978-0-521-63643-8.