En la teoría matemática de funciones especiales , el Pochhammer k -Símbolo y la k función gamma , introducido por Rafael Díaz y Eddy Pariguan [1] son generalizaciones del símbolo Pochhammer y gamma función . Se diferencian del símbolo de Pochhammer y la función gamma en que pueden relacionarse con una progresión aritmética general de la misma manera que los que están relacionados con la secuencia de números enteros consecutivos .
El símbolo k de Pochhammer ( x ) n, k se define como
y la función k -gamma Γ k , con k > 0, se define como
Cuando k = 1 se obtienen el símbolo estándar de Pochhammer y la función gamma.
Díaz y Pariguan usan estas definiciones para demostrar una serie de propiedades de la función hipergeométrica . Aunque Díaz y Pariguan restringen estos símbolos a k > 0, el símbolo k de Pochhammer como lo definen está bien definido para todo k real , y para k negativo da el factorial descendente , mientras que para k = 0 se reduce a la potencia x n .
El artículo de Díaz y Pariguan no aborda las muchas analogías entre el símbolo k de Pochhammer y la función de potencia, como el hecho de que el teorema del binomio puede extenderse a los símbolos k de Pochhammer . Sin embargo, es cierto que muchas ecuaciones que involucran la función de potencia x n continúan siendo válidas cuando x n se reemplaza por ( x ) n, k .
Fracciones J de tipo Jacobi para la función generadora ordinaria del símbolo k de Pochhammer, denotado en notación ligeramente diferente por para fijo y algún parámetro indeterminado , se consideran en [2] en la forma de la siguiente expansión de fracción continua infinita dada por
Lo racional función convergente, , a la función de generación completa para estos productos expandidos por la última ecuación está dada por
donde las secuencias de la función convergente componente, y , se dan como sumas de forma cerrada en términos del símbolo ordinario de Pochhammer y los polinomios de Laguerre por
La racionalidad del funciones convergentes para todos , combinado con las propiedades enumerativas conocidas de las expansiones de la fracción J, implican las siguientes ecuaciones en diferencias finitas, ambas generando exactamente para todos , y generando el símbolo módulo para un entero fijo :
La racionalidad de también implica las próximas expansiones exactas de estos productos dadas por
donde la fórmula se expande en términos de los ceros especiales de los polinomios de Laguerre , o de manera equivalente, de la función hipergeométrica confluente , definida como el conjunto finito (ordenado)
y donde denota la descomposición en fracciones parciales del racional función convergente.
Además, dado que las funciones convergentes del denominador, , se expanden exactamente a través de los polinomios de Laguerre como arriba, podemos generar exactamente el símbolo k de Pochhammer como los coeficientes de la serie
para cualquier entero prescrito .
Casos especiales del símbolo k de Pochhammer, , corresponden a los siguientes casos especiales de los factoriales ascendentes y descendentes , incluido el símbolo de Pochhammer , y los casos generalizados de las funciones factoriales múltiples ( funciones multifactoriales ), o-Funciones factoriales estudiadas en las dos últimas referencias por Schmidt:
- El símbolo de Pochhammer, o función factorial ascendente :
- La función factorial descendente :
- La función factorial única :
- La función factorial doble :
- Las funciones multifactoriales definidas de forma recursiva por por y algo de compensación : y
Las expansiones de estos productos relacionados con el símbolo k se consideran trimestralmente con respecto a los coeficientes de las potencias de () para cada finito se definen en el artículo sobre números de Stirling generalizados del primer tipo y polinomios de Stirling (convolución) generalizados en. [3]