Distancia desde un punto a un plano

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En el espacio euclidiano , la distancia de un punto a un plano es la distancia entre un punto dado y su proyección ortogonal en el plano, la distancia perpendicular al punto más cercano en el plano.

Se puede encontrar comenzando con un cambio de variables que mueve el origen para que coincida con el punto dado y luego encontrando el punto en el plano desplazado que está más cerca del origen . El punto resultante tiene coordenadas cartesianas :${\displaystyle hacha+por+cz=d}$ ${\ estilo de visualización (x, y, z)}$

La distancia entre el origen y el punto es .${\ estilo de visualización (x, y, z)}$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Supongamos que deseamos encontrar el punto más cercano en un plano al punto ( ), donde el plano viene dado por . Definimos , , y , para obtener como el plano expresado en términos de las variables transformadas. Ahora el problema se ha convertido en encontrar el punto más cercano en este plano al origen y su distancia desde el origen. El punto en el plano en términos de las coordenadas originales se puede encontrar desde este punto utilizando las relaciones anteriores entre y , entre y , y entre y ; la distancia en términos de las coordenadas originales es la misma que la distancia en términos de las coordenadas revisadas.${\ estilo de visualización X_ {0}, Y_ {0}, Z_ {0}}$${\displaystyle aX+bY+cZ=D}$${\displaystyle x=X-X_{0}}$${\displaystyle y=Y-Y_{0}}$${\displaystyle z=Z-Z_{0}}$${\displaystyle d=D-aX_{0}-bY_{0}-cZ_{0}}$${\displaystyle hacha+por+cz=d}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización Y}$${\ estilo de visualización z}$${\ estilo de visualización Z}$

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