En matemáticas, la envolvente inferior o mínimo puntual de un conjunto finito de funciones es el mínimo puntual de las funciones, la función cuyo valor en cada punto es el mínimo de los valores de las funciones en el conjunto dado. El concepto de envolvente inferior también se puede extender a funciones parciales tomando el mínimo solo entre las funciones que tienen valores en el punto. La envolvente superior o máximo puntual se define simétricamente. Para un conjunto infinito de funciones, las mismas nociones pueden definirse utilizando el mínimo en lugar del mínimo y el superior en lugar del máximo. [1]
Para funciones continuas de una clase determinada, el sobre inferior o superior es una función por partes cuyas piezas pertenecen a la misma clase. Para las funciones de una sola variable real cuyas gráficas tienen un número limitado de puntos de intersección, la complejidad de la envolvente inferior o superior se puede acotar usando secuencias de Davenport-Schinzel , y estas envolventes se pueden calcular de manera eficiente mediante un algoritmo de dividir y conquistar que calcula y luego fusiona las envolventes de subconjuntos de las funciones. [2]
Para funciones convexas o cuasiconvexas , la envolvente superior es nuevamente convexa o cuasiconvexa. La envolvente inferior no lo es, pero puede ser reemplazada por la envolvente convexa inferior para obtener una operación análoga a la envolvente inferior que mantiene la convexidad. Los sobres superior e inferior de las funciones de Lipschitz conservan la propiedad de ser Lipschitz. Sin embargo, las operaciones de envolvente superior e inferior no conservan necesariamente la propiedad de ser una función continua . [3]
Referencias
- ^ Choquet, Gustave (1966), "3. Envolventes superior e inferior de una familia de funciones" , Topología , Academic Press, págs. 129-131, ISBN 9780080873312
- ^ Boissonnat, Jean-Daniel ; Yvinec, Mariette (1998), "15.3.2 Cálculo de la envolvente inferior" , Geometría algorítmica , Cambridge University Press, p. 358, ISBN 9780521565295
- ^ Choquet (1966) , p. 136.