En la teoría de las colas , una disciplina dentro de la teoría matemática de la probabilidad , la fórmula de Pollaczek-Khinchine establece una relación entre la longitud de la cola y la distribución del tiempo de servicio Las transformadas de Laplace para una cola M / G / 1 (donde los trabajos llegan de acuerdo con un proceso de Poisson y tienen distribución del tiempo de servicio general). El término también se utiliza para referirse a las relaciones entre la longitud media de la cola y el tiempo medio de espera / servicio en dicho modelo. [1]
La fórmula fue publicada por primera vez por Felix Pollaczek en 1930 [2] y refundida en términos probabilísticos por Aleksandr Khinchin [3] dos años más tarde. [4] [5] En la teoría de la ruina, la fórmula se puede utilizar para calcular la probabilidad de la ruina final (probabilidad de que una compañía de seguros quebrará). [6]
Longitud media de la cola
La fórmula establece que el número medio de clientes en el sistema L viene dado por [7]
dónde
- es la tasa de llegada del proceso de Poisson
- es la media de la distribución del tiempo de servicio S
- es la utilizacion
- Var ( S ) es la varianza de la distribución del tiempo de servicio S .
Para que la longitud media de la cola sea finita es necesario que ya que, de lo contrario, los trabajos llegan más rápido de lo que salen de la cola. La "intensidad del tráfico" varía entre 0 y 1, y es la fracción media de tiempo que el servidor está ocupado. Si la tasa de llegada es mayor o igual que la tarifa del servicio , el retraso de la cola se vuelve infinito. El término de varianza entra en la expresión debido a la paradoja de Feller . [8]
Tiempo de espera medio
Si escribimos W por el tiempo medio que un cliente pasa en el sistema, entonces dónde es el tiempo medio de espera (tiempo pasado en la cola esperando el servicio) y es la tarifa del servicio. Usando la ley de Little , que establece que
dónde
- L es el número medio de clientes en el sistema
- es la tasa de llegada del proceso de Poisson
- W es el tiempo medio que se pasa en la cola esperando y recibiendo servicio,
entonces
Podemos escribir una expresión para el tiempo medio de espera como [9]
Transformación de longitud de cola
Escribiendo π ( z ) para la función generadora de probabilidad del número de clientes en la cola [10]
donde g ( s ) es la transformada de Laplace de la función de densidad de probabilidad de tiempo de servicio. [11]
El tiempo de espera se transforma
Escribiendo W * ( s ) para la transformada de Laplace-Stieltjes de la distribución del tiempo de espera, [10]
donde nuevamente g ( s ) es la transformada de Laplace de la función de densidad de probabilidad de tiempo de servicio. Los n- ésimos momentos se pueden obtener diferenciando la transformada n veces, multiplicando por (-1) n y evaluando en s = 0.
Referencias
- ^ Asmussen, SR (2003). "Paseos al azar". Probabilidad aplicada y colas . Modelado estocástico y probabilidad aplicada. 51 . págs. 220–243. doi : 10.1007 / 0-387-21525-5_8 . ISBN 978-0-387-00211-8.
- ^ Pollaczek, F. (1930). "Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie". Mathematische Zeitschrift . 32 : 64-100. doi : 10.1007 / BF01194620 .
- ^ Khintchine, A. Y (1932). "Teoría matemática de una cola estacionaria" . Matematicheskii Sbornik . 39 (4): 73–84 . Consultado el 14 de julio de 2011 .
- ^ Takács, Lajos (1971). "Revisión: JW Cohen, la cola de servidor único" . Anales de estadística matemática . 42 (6): 2162–2164. doi : 10.1214 / aoms / 1177693087 .
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- ^ Haigh, John (2002). Modelos de probabilidad . Saltador. pag. 192. ISBN 1-85233-431-2.
- ^ Cooper, Robert B .; Niu, Shun-Chen; Srinivasan, Mandyam M. (1998). "Algunas reflexiones sobre la paradoja de la teoría de la renovación en la teoría de las colas" (PDF) . Revista de Matemática Aplicada y Análisis Estocástico . 11 (3): 355–368 . Consultado el 14 de julio de 2011 .
- ^ Harrison, Peter G .; Patel, Naresh M. (1992). Modelado de rendimiento de redes de comunicación y arquitecturas informáticas . Addison-Wesley. pag. 228 . ISBN 0-201-54419-9.
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