Teorema de Pompeiu

El teorema de Pompeiu es el resultado de la geometría plana , descubierto por el matemático rumano Dimitrie Pompeiu . El teorema es simple, pero no clásico. Dice lo siguiente:

La prueba es rápida. Considere una rotación de 60 ° alrededor del punto B . Suponga que A se asigna a C y P se asigna a P  '. Entonces , y . Por tanto, el triángulo PBP  'es equilátero y . Entonces . Por lo tanto, el triángulo PCP  'tiene lados iguales a PA , PB y PC y la prueba por construcción está completa (vea el dibujo). ^{[1] [2]}${\ Displaystyle \ scriptstyle PB \ = \ P'B}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ angle PBP '\ = \ 60 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle PP '\ = \ PB}$${\ Displaystyle \ scriptstyle PA \ = \ P'C}$

Investigaciones posteriores revelan que si P no está en el interior del triángulo, sino en el círculo circunferencial , entonces PA , PB , PC forman un triángulo degenerado, siendo el más grande igual a la suma de los demás, esta observación también se conoce como Teorema de Van Schooten . ^[1]

Pompeiu publicó el teorema en 1936, sin embargo August Ferdinand Möbius ya había publicado un teorema más general sobre cuatro puntos en el plano euclidiano en 1852. En este artículo, Möbius también derivó el enunciado del teorema de Pompeiu explícitamente como un caso especial de su teorema más general. Por esta razón, el teorema también se conoce como teorema de Möbius-Pompeiu . ^[3]

Prueba del teorema de Pompeiu con el triángulo de Pompeiu ${\ Displaystyle \ triángulo PCP '}$