producto pontryagin

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En matemáticas , el producto de Pontryagin , introducido por Lev Pontryagin  ( 1939 ), es un producto sobre la homología de un espacio topológico inducido por un producto sobre el espacio topológico. Los casos especiales incluyen el producto de Pontryagin en la homología de un grupo abeliano , el producto de Pontryagin en un espacio H y el producto de Pontryagin en un espacio de bucle .

Para definir el producto de Pontryagin primero necesitamos un mapa que envíe el producto directo del m-ésimo y n-ésimo grupo de homología al (m+n)-ésimo grupo de homología de un espacio. Por lo tanto, definimos el producto cruz, comenzando en el nivel de cadenas singulares. Dados dos espacios topológicos X e Y y dos simples singulares y podemos definir el mapa del producto , la única dificultad es mostrar que esto define un (m+n)-simplex singular en . Para ello se puede subdividir en (m+n)-simples. Entonces es fácil mostrar que este mapa induce un mapa por homología de la forma${\ estilo de visualización f: \ Delta ^ {m} \ a X}$${\ estilo de visualización g: \ Delta ^ {n} \ a Y}$${\displaystyle f\times g:\Delta ^{m}\times \Delta ^{n}\to X\times Y}$${\ estilo de visualización X \ veces Y}$${\displaystyle\Delta^{m}\times\Delta^{n}}$

demostrando que si y son ciclos entonces también lo es y si o es un límite entonces también lo es el producto.${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización g}$${\ estilo de visualización f \ veces g}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización g}$

Dado un espacio H con multiplicación , definimos el producto de Pontryagin por homología mediante la siguiente composición de mapas${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización \ mu: X \ veces X \ a X}$

donde el primer mapa es el producto vectorial definido anteriormente y el segundo mapa viene dado por la multiplicación del espacio H seguido de la aplicación del funtor de homología para obtener un homomorfismo en el nivel de homología. entonces _${\ estilo de visualización X \ veces X \ a X}$${\displaystyle H_{*}(X;R)=\bigoplus _{n=0}^{\infty}H_{n}(X;R)}$

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