En matemáticas , un espacio H , [1] o un magma unital topológico , es un espacio topológico X (generalmente se supone que está conectado ) junto con un mapa continuo μ: X × X → X con un elemento de identidad e tal que μ ( e , x ) = μ ( x , e ) = x para todo x en X . Alternativamente, los mapas μ ( e , x ) y μ ( x ,e ) a veces solo se requiere que sean homotópicos a la identidad (en este caso e se llama identidad de homotopía), a veces a través de mapas de preservación de puntos base. Estas tres definiciones son de hecho equivalentes para los espacios H que son complejos CW . Cada grupo topológico es un espacio H; sin embargo, en el caso general, en comparación con un grupo topológico, los espacios H pueden carecer de asociatividad e inversas .
Ejemplos y propiedades
La estructura multiplicativa de un espacio H agrega estructura a sus grupos de homología y cohomología . Por ejemplo, el anillo de cohomología de un espacio H conectado a una trayectoria con grupos de cohomología libres y generados finitamente es un álgebra de Hopf . Además, se puede definir el producto Pontryagin en los grupos de homología de un espacio H.
El grupo fundamental de un espacio H es abeliano . Para ver esto, que X sea un espacio-H con la identidad e y dejar que f y g sea bucles en e . Defina un mapa F : [0,1] × [0,1] → X por F ( a , b ) = f ( a ) g ( b ). Entonces F ( a , 0) = F ( a , 1) = f ( a ) e es homotópico af , y F (0, b ) = F (1, b ) = p . Ej. ( B ) es homotópico a g . Está claro cómo definir una homotopía de [ f ] [ g ] a [ g ] [ f ].
El teorema uno invariante de Hopf de Adams , llamado así por Frank Adams , establece que S 0 , S 1 , S 3 , S 7 son las únicas esferas que son H-espacios. Cada uno de estos espacios forma un espacio H viéndolo como el subconjunto de elementos de la norma uno de los reales , complejos , cuaterniones y octoniones , respectivamente, y usando las operaciones de multiplicación de estas álgebras. De hecho, S 0 , S 1 y S 3 son grupos ( grupos de Lie ) con estas multiplicaciones. Pero S 7 no es un grupo de esta manera porque la multiplicación de octoniones no es asociativa, ni se le puede dar ninguna otra multiplicación continua de la que sea un grupo.
Ver también
Notas
- ↑ La H en el espacio H fue sugerida por Jean-Pierre Serre en reconocimiento de la influencia ejercida sobre el sujeto por Heinz Hopf (ver JR Hubbuck. "Una breve historia de los espacios H", Historia de la topología, 1999, páginas 747– 755).
Referencias
- Hatcher, Allen (2002), topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Sección 3.C
- Spanier, Edwin H. (1981), Topología algebraica (reimpresión corregida de la edición original de 1966), Nueva York-Berlín: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90646-0
- Stasheff, James Dillon (1963), " Asociatividad de homotopía de espacios H. I, II", Transactions of the American Mathematical Society , 108 : 275-292, 293-312, doi : 10.2307 / 1993609 , MR 0158400.
- Stasheff, James (1970), espacios H desde un punto de vista de homotopía , Lecture Notes in Mathematics, 161 , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag.