En el análisis convexo , la desigualdad de Popoviciu es una desigualdad sobre funciones convexas . Es similar a la desigualdad de Jensen y fue encontrada en 1965 por Tiberiu Popoviciu , [1] [2] un matemático rumano.
Formulación
Sea f una función de un intervalo a . Si f es convexa , entonces para cualesquiera tres puntos x , y , z en I ,
Si una función f es continua , entonces es convexa si y solo si la desigualdad anterior se cumple para todo x , y , z de. Cuando f es estrictamente convexa, la desigualdad es estricta excepto para x = y = z . [3]
Generalizaciones
Se puede generalizar a cualquier número finito n de puntos en lugar de 3, tomados en el lado derecho k a la vez en lugar de 2 a la vez: [4]
Sea f una función continua de un intervalo a . Entonces f es convexa si y solo si, para cualquier número entero n y k donde n ≥ 3 y, y cualquier n puntosde yo ,
La desigualdad de Popoviciu también se puede generalizar a una desigualdad ponderada . [5] [6] [7]
Notas
- ^ Tiberiu Popoviciu (1965), "Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes", Analele ştiinţifice Univ. "Al.I. Cuza" Iasi, Secţia I a Mat. , 11 : 155-164
- ↑ El artículo de Popoviciu se ha publicado en rumano, pero el lector interesado puede encontrar sus resultados en la revisión. Zbl 0166.06303 . Página 1 Página 2
- ^ Constantin Niculescu; Lars-Erik Persson (2006), Funciones convexas y sus aplicaciones: un enfoque contemporáneo , Springer Science & Business, p. 12, ISBN 978-0-387-24300-9
- ^ JE Pečarić; Frank Proschan; Yung Liang Tong (1992), Funciones convexas, ordenamientos parciales y aplicaciones estadísticas , Academic Press, p. 171, ISBN 978-0-12-549250-8
- ^ PM Vasić; Lj. R. Stanković (1976), "Algunas desigualdades para funciones convexas", Math. Balkanica (6 (1976)), págs. 281–288
- ^ Grinberg, Darij (2008). "Generalizaciones de la desigualdad de Popoviciu". arXiv : 0803.2958v1 [ math.FA ].
- ^ M.Mihai; F.-C. Mitroi-Symeonidis (2016), "Nuevas extensiones de la desigualdad de Popoviciu", Mediterr. J. Math., Volumen 13 , 13 (5), págs. 3121–3133, arXiv : 1507.05304 , doi : 10.1007 / s00009-015-0675-3 , ISSN 1660-5446