Politopo convexo tridimensional. El análisis convexo incluye no solo el estudio de subconjuntos convexos de espacios euclidianos, sino también el estudio de funciones convexas en espacios abstractos.
Conjuntos convexos
Un subconjunto de un espacio vectorialse llama convexo si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
A lo largo de, será un mapa valorado en los números reales extendidoscon un dominioque es un subconjunto convexo de algún espacio vectorial. El mapaes función convexa si
( Convexidad ≤ )
se mantiene para cualquier real y cualquier con Si esto sigue siendo cierto de cuando la desigualdad definitoria ( Convexidad ≤ ) es reemplazada por la desigualdad estricta
es un conjunto convexo. [3] Los epígrafes de funciones de valor real extendidas juegan un papel en el análisis convexo que es análogo al papel que juegan los gráficos de funciones de valor real en el análisis real . Específicamente, el epígrafe de una función de valor real extendida proporciona una intuición geométrica que puede usarse para ayudar a formular o probar conjeturas.
El dominio de una función se denota por mientras que su dominio efectivo es el conjunto [3]
( dom f def. )
La función se llama propio si y para todos[3] Alternativamente, esto significa que existen algunos en el dominio de en el cual y tampoco es nunca igual aEn palabras, una función es adecuada si su dominio no está vacío, nunca toma el valor y tampoco es idénticamente igual a Si es una función convexa adecuada, entonces existe algún vector y algo tal que
El conjugado convexo de una función de valor real extendida (no necesariamente convexo) es la función desde el espacio dual (continuo) de y [4]
donde los corchetes denotar la dualidad canónicaEl biconjugado de es el mapa definido por para cada Si denota el conjunto de -funciones valoradas en luego el mapa definido por se llama la transformada de Legendre-Fenchel .
Conjunto subdiferencial y desigualdad de Fenchel-Young
Si y entonces el conjunto subdiferencial es
Por ejemplo, en el caso especial importante donde es una norma en , se puede demostrar [prueba 1] que si entonces esta definición se reduce a:
y
Para cualquier y que se llama la desigualdad de Fenchel-Young . Esta desigualdad es una igualdad (es decir,) si y solo si Es de esta manera que el conjunto subdiferencial está directamente relacionado con el conjugado convexo
Biconjugar
El biconjugado de una función es el conjugado del conjugado, típicamente escrito como El biconjugado es útil para mostrar cuándo se mantiene la dualidad fuerte o débil (a través de la función de perturbación ).
A convexa minimización ( primal ) problema es una de la forma
encontrar cuando se le da una función convexa y un subconjunto convexo
Problema dual
En la teoría de la optimización, el principio de dualidad establece que los problemas de optimización pueden verse desde dos perspectivas, el problema primario o el problema dual.
Si existen condiciones de restricción, estas se pueden integrar en la función Dejando dónde es la función del indicador . Entonces dejaser una función de perturbación tal que[6]
El problema dual con respecto a la función de perturbación elegida viene dado por
dónde es el conjugado convexo en ambas variables de
La brecha de dualidad es la diferencia de los lados derecho e izquierdo de la desigualdad [7] [6] [8]
Este principio es el mismo que el de la dualidad débil . Si los dos lados son iguales entre sí, se dice que el problema satisface una fuerte dualidad .
Hay muchas condiciones para que la dualidad fuerte se mantenga, tales como:
dónde es la función de perturbación que relaciona los problemas primarios y duales yes el biconjugado de; [ cita requerida ]
el problema principal es un problema de optimización lineal ;
Condición de Slater para un problema de optimización convexa . [9] [10]
Dualidad de Lagrange
Para un problema de minimización convexo con restricciones de desigualdad,
sujeto a por
el problema dual de Lagrange es
sujeto a por
donde la función objetivo es la función dual de Lagrange definida de la siguiente manera:
Ver también
Convexidad en economía
No convexidad (economía)
Lista de temas de convexidad - artículo de la lista de Wikipedia
Werner Fenchel
Notas
↑ a b Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6.
^ Rudin 1991 , p. 38.
↑ a b c Rockafellar & Wets , 2009 , págs. 1-28.error sfn: sin destino: CITEREFRockafellarWets2009 ( ayuda )
↑ a b Zălinescu , 2002 , págs. 75-79.error sfn: sin destino: CITEREFZălinescu2002 ( ayuda )
^Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian (2006). Análisis convexo y optimización no lineal: teoría y ejemplos (2 ed.). Saltador. págs. 76 –77. ISBN 978-0-387-29570-1.
^ a bBoţ, Radu Ioan; Wanka, Gert; Grad, Sorin-Mihai (2009). Dualidad en la optimización vectorial . Saltador. ISBN 978-3-642-02885-4.
^Csetnek, Ernö Robert (2010). Superar el fracaso de las condiciones clásicas de regularidad generalizada del punto interior en la optimización convexa. Aplicaciones de la teoría de la dualidad a ampliaciones de operadores monótonos máximos . Logos Verlag Berlin GmbH. ISBN 978-3-8325-2503-3.
^Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian (2006). Análisis convexo y optimización no lineal: teoría y ejemplos (2 ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-29570-1.
^Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-83378-3. Consultado el 3 de octubre de 2011 .
^ La conclusión es inmediata siasí que asume lo contrario. Reparar Reemplazo con la norma da Si y es real entonces usando da donde en particular, tomando da mientras toma da y por lo tanto ; además, si además entonces porque De la definición de la norma dual se sigue que Porque que es equivalente a resulta que lo que implica para todos A partir de estos hechos, ahora se puede llegar a la conclusión. ∎
Referencias
Bauschke, Heinz H .; Combettes, Patrick L. (28 de febrero de 2017). Análisis convexo y teoría del operador monótono en espacios de Hilbert . Libros CMS en Matemáticas. Springer Science & Business Media . ISBN 978-3-319-48311-5. OCLC 1037059594 .
Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (8 de marzo de 2004). Optimización convexa . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge, Reino Unido Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-83378-3. OCLC 53331084 .
Hiriart-Urruty, J.-B. ; Lemaréchal, C. (2001). Fundamentos del análisis convexo . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42205-1.
Kusraev, AG; Kutateladze, Semen Samsonovich (1995). Subdiferenciales: teoría y aplicaciones . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-94-011-0265-0.
Rockafellar, R. Tyrrell ; Mojados, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 317 . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC 883392544 .
Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Cantante, Ivan (1997). Análisis convexo abstracto . Serie de monografías y textos avanzados de la Canadian Mathematical Society. Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. págs. Xxii + 491. ISBN 0-471-16015-6. Señor 1461544 .
Stoer, J .; Witzgall, C. (1970). Convexidad y optimización en dimensiones finitas . 1 . Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-04835-2.
Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. Señor 1921556 . OCLC 285163112 .
enlaces externos
Medios relacionados con el análisis convexo en Wikimedia Commons