En la dispersión de ángulo pequeño de rayos X o neutrones (SAS), la ley de Porod , descubierta por Günther Porod , describe la asíntota de la intensidad de dispersión I (q) para números de onda de dispersión grandes q .
Contexto
La ley de Porod se ocupa de los números de onda q que son pequeños en comparación con la escala de difracción de Bragg habitual ; típicamente. En este rango, la muestra no debe describirse a nivel atomístico; se utiliza más bien una descripción de continuo en términos de una densidad de electrones o una densidad de longitud de dispersión de neutrones. En un sistema compuesto por distintas partículas mesoscópicas , se puede entender que toda la dispersión de ángulo pequeño surge de superficies o interfaces. Normalmente, SAS se mide para detectar correlaciones entre diferentes interfaces y, en particular, entre segmentos de superficie remotos de una y la misma partícula. Esto permite sacar conclusiones sobre el tamaño y la forma de las partículas y sus correlaciones.
La q de Porod , sin embargo, es relativamente grande en la escala habitual de SAS. En este régimen, las correlaciones entre segmentos de superficie remotos y las correlaciones entre partículas son tan aleatorias que promedian. Por lo tanto, solo se ve la rugosidad de la interfaz local .
Forma estándar
Si la interfaz es plana, entonces la ley de Porod predice la intensidad de dispersión
donde S es el área superficial de las partículas, que de esta manera puede determinarse experimentalmente. La ley de potencia q −4 corresponde al factor 1 / sen 4 θ en las ecuaciones de reflexión de Fresnel . [nota 1]
Forma generalizada
Desde el advenimiento de las matemáticas fractales , ha quedado claro que la ley de Porod requiere adaptación para interfaces aproximadas porque el valor de la superficie S puede ser una función de q (el criterio con el que se mide). En el caso de un área superficial fractalmente rugosa con una dimensionalidad d entre 2-3, la ley de Porod se convierte en:
Por lo tanto, si se traza logarítmicamente, la pendiente de ln (I) frente a ln (q) variaría entre -4 y -3 para tal fractal de superficie . Las pendientes menos negativas que -3 también son posibles en la teoría fractal y se describen utilizando un modelo fractal de volumen en el que se puede describir matemáticamente que todo el sistema es auto-similar, aunque generalmente no en la realidad en la naturaleza.
Derivación
como asíntota de factor de forma
Para un sistema de modelo específico, por ejemplo, una dispersión de partículas esféricas no correlacionadas, se puede derivar la ley de Porod calculando la función de dispersión S (q) exactamente, promediando sobre radios de partículas ligeramente diferentes y tomando el límite.
considerando solo una interfaz
Alternativamente, se puede expresar S (q) como una integral de superficie doble, usando el teorema de Ostrogradsky . Para una superficie plana en el plano xy, se obtiene [nota 2]
Tomando el promedio esférico sobre las posibles direcciones del vector q , se obtiene la ley de Porod en la forma [nota 3]