En matemáticas , la fórmula de Porteous , o fórmula de Thom-Porteous , o fórmula de Giambelli-Thom-Porteous , es una expresión para la clase fundamental de un locus de degeneración (o variedad determinante ) de un morfismo de haces de vectores en términos de clases de Chern . La fórmula de Giambelli es aproximadamente el caso especial cuando los paquetes vectoriales son sumas de paquetes de líneas sobre el espacio proyectivo. Thom ( 1957 ) señaló que la clase fundamental debe ser un polinomio en las clases de Chern y encontró este polinomio en unos pocos casos especiales, y Porteous ( 1971) encontró el polinomio en general. Kempf y Laksov (1974) demostraron ser una versión más general y Fulton (1992) la generalizó aún más.
Declaración
Dado un morfismo de vector paquetes E , F de filas m y n sobre una variedad lisa, su k -ésimo degeneración locus ( k ≤ min ( m , n )) es de la variedad de puntos en los que tiene rango como máximo k . Si todos los componentes del locus de degeneración tienen la codimensión esperada ( m - k ) ( n - k ), entonces la fórmula de Porteous establece que su clase fundamental es el determinante de la matriz de tamaño m - k cuya entrada ( i , j ) es la Chern clase c n - k + j - yo ( F - E ).
Referencias
- Fulton, William (1992), "Banderas, polinomios de Schubert, loci de degeneración y fórmulas determinantes", Duke Mathematical Journal , 65 (3): 381–420, doi : 10.1215 / S0012-7094-92-06516-1 , ISSN 0012 -7094 , MR 1154177
- Kempf, G .; Laksov, D. (1974), "La fórmula determinante del cálculo de Schubert", Acta Mathematica , 132 : 153-162, doi : 10.1007 / BF02392111 , ISSN 0001-5962 , MR 0338006
- Porteous, Ian R. (1971) [1962], "Simple singularities of maps", Proceedings of Liverpool Singularities Symposium, I (1969/70) , Lecture Notes in Mathematics, 192 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 286–307, doi : 10.1007 / BFb0066829 , ISBN 978-3-540-05402-3, MR 0293646
- Thom, René (1957), Les ensembles singuliers d'une application différentiable et leurs propriétés homologiques , Séminaire de Topologie de Strasbourg