Variedad determinante

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En geometría algebraica , las variedades determinantes son espacios de matrices con un límite superior dado en sus rangos . Su importancia proviene del hecho de que muchos ejemplos en geometría algebraica son de esta forma, como la incrustación Segre de un producto de dos espacios proyectivos .

El ideal radical que define la variedad determinante es generado por los menores ( r  + 1) × ( r  + 1) de la matriz (Bruns-Vetter, Teorema 2.10).

Suponiendo que consideramos Y _r como una variedad afín , su dimensión es r ( m  +  n  -  r ). Una forma de ver esto es la siguiente: forme el espacio del producto sobre dónde está el Grassmanniano de r -planes en un espacio vectorial m -dimensional, y considere el subespacio , que es una desingularización de (sobre el conjunto abierto de matrices con rango exactamente r , este mapa es un isomorfismo), y es un paquete de vectores sobre el cual es isomorfo a ${\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {mn} \ times \ mathbf {Gr} (r, m)}$${\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {mn}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (r, m)}$${\displaystyle Z_{r}=\{(A,W)\mid A(k^{n})\subseteq W\}}$${\displaystyle Y_{r}}$${\displaystyle Z_{r}}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (r,m)}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (k^{n},{\mathcal {R}})}$donde está el paquete tautológico sobre el Grassmanniano. Entonces , dado que son biracionalmente equivalentes , y dado que la fibra de tiene dimensión nr .${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \dim Y_{r}=\dim Z_{r}}$${\displaystyle \dim Z_{r}=\dim \mathbf {Gr} (r,m)+nr=r(m-r)+nr}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (k^{n},{\mathcal {R}})}$

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