Ley de potencia

No confundir con Fuerza (ley) . Para otros usos, consulte Energía (desambiguación)

Un ejemplo de gráfico de ley de potencias que demuestra la clasificación de popularidad. A la derecha está la cola larga , ya la izquierda están los pocos que dominan (también conocida como la regla 80-20 ).

En estadística , una ley de potencia es una relación funcional entre dos cantidades, donde un cambio relativo en una cantidad da como resultado un cambio relativo proporcional en la otra cantidad, independientemente del tamaño inicial de esas cantidades: una cantidad varía como la potencia de otra. Por ejemplo, considerando el área de un cuadrado en términos de la longitud de su lado, si la longitud se duplica, el área se multiplica por un factor de cuatro. ^[1]

Ejemplos empíricos

Las distribuciones de una amplia variedad de fenómenos físicos, biológicos y provocados por el hombre siguen aproximadamente una ley de potencia en una amplia gama de magnitudes: estos incluyen los tamaños de los cráteres en la luna y de las erupciones solares , ^[2] el patrón de alimentación de varios especies, ^[3] los tamaños de los patrones de actividad de las poblaciones neuronales, ^[4] las frecuencias de las palabras en la mayoría de los idiomas, las frecuencias de los apellidos , la riqueza de especies en clados de organismos, ^[5] los tamaños de los cortes de energía , los cargos criminales por convicto, erupciones volcánicas, ^[6]juicios humanos sobre la intensidad del estímulo ^{[7] [8]} y muchas otras cantidades. ^[9] Pocas distribuciones empíricas se ajustan a una ley de potencia para todos sus valores, sino que siguen una ley de potencia en la cola. La atenuación acústica sigue las leyes de potencia de frecuencia dentro de amplias bandas de frecuencia para muchos medios complejos. Las leyes de escala alométrica para las relaciones entre variables biológicas se encuentran entre las funciones de ley de potencia más conocidas en la naturaleza.

Propiedades

Invarianza de escala

Un atributo de las leyes de potencia es su invariancia de escala . Dada una relación , escalar el argumento por un factor constante provoca solo un escalado proporcional de la función en sí. Es decir,${\displaystyle f(x)=ax^{-k}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!}$

donde denota proporcionalidad directa . Es decir, escalar por una constante simplemente multiplica la relación original de ley de potencia por la constante . Por lo tanto, se deduce que todas las leyes de potencia con un exponente de escala particular son equivalentes hasta factores constantes, ya que cada una es simplemente una versión a escala de las demás. Este comportamiento es lo que produce la relación lineal cuando se toman los logaritmos de ambos y , y la línea recta en la gráfica logarítmica a menudo se denomina firma.${\displaystyle \propto }$${\displaystyle c}$${\displaystyle c^{-k}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$de una ley de potencia. Con datos reales, dicha rectitud es una condición necesaria, pero no suficiente, para que los datos sigan una relación de ley de potencia. De hecho, hay muchas formas de generar cantidades finitas de datos que imitan este comportamiento de firma, pero, en su límite asintótico, no son verdaderas leyes de potencia (por ejemplo, si el proceso de generación de algunos datos sigue una distribución logarítmica normal ). ^{[ cita requerida ]} Por lo tanto, ajustar y validar con precisión los modelos de ley de potencias es un área activa de investigación en estadística; vea abajo.

Falta de valor medio bien definido

Una ley de potencia tiene una media bien definida sobre sólo si , y tiene una varianza finita sólo si ; La mayoría de las leyes de potencia identificadas en la naturaleza tienen exponentes tales que la media está bien definida pero la varianza no lo está, lo que implica que son capaces de comportarse como un cisne negro . ^[2] Esto se puede ver en el siguiente experimento mental: ^[10] imagina una habitación con tus amigos y calcula el ingreso mensual promedio en la habitación. Ahora imagine a la persona más rica del mundo entrando en la habitación, con un ingreso mensual de alrededor de mil millones de dólares. ¿Qué pasa con el ingreso promedio en la habitación? La renta se distribuye de acuerdo con una ley de potencia conocida como${\displaystyle x^{-k}}$${\displaystyle x\in [1,\infty )}$${\displaystyle k>2}$${\displaystyle k>3}$Distribución de Pareto (por ejemplo, el patrimonio neto de los estadounidenses se distribuye de acuerdo con una ley de potencia con un exponente de 2).

Por un lado, esto hace que sea incorrecto aplicar estadísticas tradicionales que se basan en la varianza y la desviación estándar (como el análisis de regresión ). ^{[ cita requerida ]} Por otro lado, esto también permite intervenciones rentables. ^[10] Por ejemplo, dado que los gases de escape de los automóviles se distribuyen de acuerdo con una ley de potencia entre los automóviles (muy pocos automóviles contribuyen a la mayor contaminación), sería suficiente eliminar esos pocos automóviles de la carretera para reducir sustancialmente el total de gases de escape. ^[11]

Sin embargo, la mediana existe: para una ley de potencia x ^{- k} , con exponente , toma el valor 2 ^{1 / ( k - 1)} x _min , donde x _min es el valor mínimo para el que se cumple la ley de potencia. ^[12]${\displaystyle k>1}$

Universalidad

La equivalencia de leyes de potencia con un exponente de escala particular puede tener un origen más profundo en los procesos dinámicos que generan la relación de ley de potencia. En física, por ejemplo, las transiciones de fase en sistemas termodinámicos están asociadas con la aparición de distribuciones de ley de potencias de ciertas cantidades, cuyos exponentes se denominan exponentes críticos del sistema. Se puede demostrar, mediante la teoría de grupos de renormalización , que diversos sistemas con los mismos exponentes críticos, es decir, que muestran un comportamiento de escala idéntico a medida que se acercan a la criticidad , comparten la misma dinámica fundamental. Por ejemplo, el comportamiento del agua y el CO ₂en sus puntos de ebullición caen en la misma clase de universalidad porque tienen exponentes críticos idénticos. ^{[ cita requerida ] [ aclaración necesaria ]} De hecho, casi todas las transiciones de fase material son descritas por un pequeño conjunto de clases de universalidad. Se han hecho observaciones similares, aunque no tan exhaustivas, para varios sistemas críticos autoorganizados , donde el punto crítico del sistema es un atractor . Formalmente, este intercambio de dinámicas se conoce como universalidad , y se dice que los sistemas con precisamente los mismos exponentes críticos pertenecen a la misma clase de universalidad .

Funciones de ley de potencias

El interés científico en las relaciones de la ley de potencias proviene en parte de la facilidad con que ciertas clases generales de mecanismos las generan. ^[13] La demostración de una relación de ley de potencias en algunos datos puede apuntar a tipos específicos de mecanismos que podrían ser la base del fenómeno natural en cuestión, y puede indicar una conexión profunda con otros sistemas aparentemente no relacionados; ^[14] ver también universalidad arriba. La ubicuidad de las relaciones de poder-ley en la física se debe en parte a restricciones dimensionales , mientras que en sistemas complejos , a menudo se piensa que las leyes de poder son firmas de jerarquía o de procesos estocásticos específicos . Algunos ejemplos notables de leyes de poder son la ley de Pareto.de la distribución del ingreso, la autosimilitud estructural de los fractales y las leyes de escala en los sistemas biológicos . La investigación sobre los orígenes de las relaciones de poder-ley, y los esfuerzos para observarlas y validarlas en el mundo real, es un tema activo de investigación en muchos campos de la ciencia, incluyendo física , informática , lingüística , geofísica , neurociencia , sistemática , sociología , etc. economía y más.

Sin embargo, gran parte del interés reciente en las leyes de potencia proviene del estudio de distribuciones de probabilidad : las distribuciones de una amplia variedad de cantidades parecen seguir la forma de ley de potencia, al menos en su cola superior (eventos grandes). El comportamiento de estos grandes eventos conecta estas cantidades con el estudio de la teoría de las grandes desviaciones (también llamada teoría del valor extremo ), que considera la frecuencia de eventos extremadamente raros como las caídas del mercado de valores y los grandes desastres naturales . Es principalmente en el estudio de distribuciones estadísticas donde se utiliza el nombre "ley de potencia".

En contextos empíricos, una aproximación a una ley de potencias a menudo incluye un término de desviación , que puede representar incertidumbre en los valores observados (tal vez errores de medición o de muestreo) o proporcionar una forma sencilla para que las observaciones se desvíen de la función de ley de potencias (tal vez para razones estocásticas ):${\displaystyle o(x^{k})}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle y=ax^{k}+\varepsilon .\!}$

Matemáticamente, una ley de potencia estricto no puede ser una distribución de probabilidad, pero una distribución que es un truncado función de potencia es posible: por donde el exponente (letra griega alfa , que no debe confundirse con el factor de escala utilizado más arriba) es mayor que 1 (de otro modo el cola tiene un área infinita), se necesita el valor mínimo; de lo contrario, la distribución tiene un área infinita cuando x se acerca a 0, y la constante C es un factor de escala para garantizar que el área total sea 1, como lo requiere una distribución de probabilidad. Más a menudo se usa una ley de potencia asintótica, una que solo es verdadera en el límite; ver distribuciones de probabilidad de ley de potencias${\displaystyle p(x)=Cx^{-\alpha }}$${\displaystyle x>x_{\text{min}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle a}$${\displaystyle x_{\text{min}}}$a continuación para obtener más detalles. Normalmente, el exponente cae dentro del rango , aunque no siempre. ^[9]${\displaystyle 2<\alpha <3}$

Ejemplos

Se han identificado más de cien distribuciones de ley de potencias en física (por ejemplo, avalanchas de pilas de arena), biología (por ejemplo, extinción de especies y masa corporal) y ciencias sociales (por ejemplo, tamaño de ciudades e ingresos). ^[15] Entre ellos se encuentran:

Astronomía

• Tercera ley de Kepler
• La función de masa inicial de las estrellas.
• El espectro de energía diferencial de los núcleos de rayos cósmicos.
• La relación M-sigma

Criminología

• número de cargos por delincuente ^[16]

Física

• El exponente de Angstrom en óptica de aerosoles
• La dependencia de la frecuencia de la atenuación acústica en medios complejos
• Ley de poder de la psicofísica de Stevens
• La ley de Stefan-Boltzmann
• Las curvas de entrada-voltaje-salida-corriente de los transistores de efecto de campo y los tubos de vacío se aproximan a una relación de ley cuadrada , un factor en el " sonido del tubo ".
• Ley del cuadrado-cubo (relación entre el área de la superficie y el volumen)
• Se puede encontrar una ley de 3/2 potencias en las curvas características de las placas de los triodos .
• Las leyes del cuadrado inverso de la gravedad newtoniana y la electrostática , como lo demuestran el potencial gravitacional y el potencial electrostático , respectivamente.
• Criticidad autoorganizada con un punto crítico como atractor
• Modelo de la fuerza de van der Waals
• Fuerza y ​​potencial en movimiento armónico simple
• Corrección gamma que relaciona la intensidad de la luz con el voltaje.
• Comportamiento cerca de las transiciones de fase de segundo orden que involucran exponentes críticos
• El área de operación segura relacionada con la corriente y voltaje máximos simultáneos en semiconductores de potencia.
• Estado supercrítico de la materia y fluidos supercríticos , como exponentes supercríticos de capacidad calorífica y viscosidad . ^[17]
• La ley de Curie-von Schweidler en las respuestas dieléctricas a la entrada de voltaje de CC escalonada.
• La fuerza de amortiguación sobre la relación de velocidad en el cálculo de amortiguadores antisísmicos
• Áreas de superficie dobladas expuestas al solvente de aminoácidos centrados en segmentos de estructura de proteínas ^[18]

Biología

• Ley de Kleiber que relaciona el metabolismo animal con el tamaño y las leyes alométricas en general.
• La ley de potencia de los dos tercios, que relaciona la velocidad con la curvatura en el sistema motor humano . ^[19]
• La ley de Taylor que relaciona el tamaño medio de la población y la varianza de los tamaños de las poblaciones en ecología
• Avalanchas neuronales ^[4]
• La riqueza de especies (número de especies) en clados de peces de agua dulce ^[20]
• El efecto Harlow Knapp, donde un subconjunto de las quinasas que se encuentran en el cuerpo humano componen la mayoría de las investigaciones publicadas ^[21]

Meteorología

• El tamaño de las celdas de lluvia, ^[22] la disipación de energía en ciclones, ^[23] y los diámetros de los remolinos de polvo en la Tierra y Marte ^[24]

Ciencias generales

• Crecimiento exponencial y observación (o muerte) aleatoria ^[25]
• Progreso a través del crecimiento exponencial y la difusión exponencial de innovaciones ^[26]
• Tolerancia altamente optimizada
• Forma propuesta de efectos de la curva de experiencia
• Ruido rosa
• La ley de los números de los arroyos y la ley de las longitudes de los arroyos ( las leyes de Horton que describen los sistemas fluviales) ^[27]
• Poblaciones de ciudades ( ley de Gibrat ) ^{[ cita requerida ]}
• Bibliogramas y frecuencias de palabras en un texto ( ley de Zipf ) ^[28]
• Principio 90-9-1 en wikis (también conocida como la regla del 1% ) ^{[29] [30]}
• Ley de Richardson sobre la gravedad de los conflictos violentos (guerras y terrorismo) ^{[31] [32]}
• La relación entre el tamaño de la caché de una CPU y el número de fallos de caché sigue la ley de potencia de los fallos de caché .
• La densidad espectral de las matrices de peso de las redes neuronales profundas ^[33]

Matemáticas

• Fractales
• La distribución de Pareto y el principio de Pareto también se denominan "regla 80-20"
• Ley de Zipf en análisis de corpus y distribuciones de población, entre otros, donde la frecuencia de un elemento o evento es inversamente proporcional a su rango de frecuencia (es decir, el segundo elemento / evento más frecuente ocurre con la mitad de frecuencia que el elemento más frecuente, el tercer elemento más frecuente / el evento ocurre un tercio de la frecuencia con la que se produce el elemento más frecuente, y así sucesivamente).
• Distribución zeta (discreta)
• Distribución de Yule-Simon (discreta)
• Distribución t de Student (continua), de la cual la distribución de Cauchy es un caso especial
• Ley de Lotka
• El modelo de red sin escala

Economía

• Tamaños de población de ciudades en una región o red urbana, ley de Zipf .

• Distribución de artistas según el precio medio de sus obras de arte. ^[34]

• Distribución de la renta en una economía de mercado.

• Distribución de titulaciones en redes bancarias.

Finanzas

• La variación media absoluta de los precios medios logarítmicos ^[35]
• Número de recuentos de garrapatas a lo largo del tiempo
• Tamaño del movimiento de precio máximo
• Tiempo medio de espera de un cambio de dirección ^[36]
• Tiempo medio de espera de un rebasamiento

Variantes

Ley de poder rota

Algunos modelos de la función de masa inicial utilizan una ley de potencia infringida; aquí Kroupa (2001) en rojo.

Una ley de potencia violada es una función por partes , que consta de dos o más leyes de potencia, combinadas con un umbral. Por ejemplo, con dos leyes de potencia: ^[37]

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha _{1}}}$ por ${\displaystyle x<x_{\text{th}},}$

${\displaystyle f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}}$.

Ley de potencia con corte exponencial

Una ley de potencia con un corte exponencial es simplemente una ley de potencia multiplicada por una función exponencial: ^[38]

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha }e^{\beta x}.}$

Ley de potencia curva

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha +\beta x}}$^[39]

Distribuciones de probabilidad de ley de potencias

En un sentido más amplio, una distribución de probabilidad según la ley de potencias es una distribución cuya función de densidad (o función de masa en el caso discreto) tiene la forma, para valores grandes de , ^[40]${\displaystyle x}$

${\displaystyle P(X>x)\sim L(x)x^{-(\alpha -1)}}$

donde , y es una función que varía lentamente , que es cualquier función que satisfaga cualquier factor positivo . Esta propiedad de se deriva directamente del requisito de ser invariante de escala asintóticamente; por lo tanto, la forma de solo controla la forma y la extensión finita de la cola inferior. Por ejemplo, si es la función constante, entonces tenemos una ley de potencia que se aplica a todos los valores de . En muchos casos, es conveniente asumir un límite inferior a partir del cual se cumple la ley. Combinando estos dos casos, y donde es una variable continua, la ley de potencia tiene la forma${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\mathrm {min} }}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha },}$

donde el prefactor es la constante de normalización . Ahora podemos considerar varias propiedades de esta distribución. Por ejemplo, sus momentos están dados por${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$

${\displaystyle \langle x^{m}\rangle =\int _{x_{\min }}^{\infty }x^{m}p(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\alpha -1}{\alpha -1-m}}x_{\min }^{m}}$

que solo está bien definido para . Es decir, todos los momentos divergen: cuando , el promedio y todos los momentos de orden superior son infinitos; cuando , la media existe, pero la varianza y los momentos de orden superior son infinitos, etc. Para muestras de tamaño finito extraídas de dicha distribución, este comportamiento implica que los estimadores de momentos centrales (como la media y la varianza) para momentos divergentes nunca convergen: a medida que se acumulan más datos, continúan creciendo. Estas distribuciones de probabilidad de ley de potencias también se denominan distribuciones de tipo Pareto , distribuciones con colas de Pareto o distribuciones con colas que varían regularmente.${\displaystyle m<\alpha -1}$${\displaystyle m\geq \alpha -1}$${\displaystyle \alpha \leq 2}$${\displaystyle 2<\alpha <3}$

Una modificación, que no satisface la forma general anterior, con un corte exponencial, ^[9] es

${\displaystyle p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}.}$

En esta distribución, el término de decaimiento exponencial eventualmente abruma el comportamiento de la ley de potencia en valores muy grandes de . Esta distribución no escala y, por lo tanto, no es asintóticamente como una ley de potencia; sin embargo, escala aproximadamente sobre una región finita antes del corte. La forma pura anterior es un subconjunto de esta familia, con . Esta distribución es una alternativa común a la distribución asintótica de la ley de potencias porque captura naturalmente los efectos de tamaño finito.${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\lambda x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda =0}$

Las distribuciones Tweedie son una familia de modelos estadísticos caracterizados por el cierre bajo convolución aditiva y reproductiva, así como bajo transformación de escala. En consecuencia, todos estos modelos expresan una relación de ley de potencias entre la varianza y la media. Estos modelos tienen un rol fundamental como focos de convergencia matemática similar al rol que tiene la distribución normal como foco en el teorema del límite central . Este efecto de convergencia explica por qué la ley de potencia de varianza a media se manifiesta tan ampliamente en los procesos naturales, como ocurre con la ley de Taylor en ecología y con la escala de fluctuación ^[41].en física. También puede demostrarse que esta ley de potencia-varianza-a decir, cuando demostró por el método de expansión de bins , implica la presencia de 1 / f ruido y que 1 / f ruido puede surgir como consecuencia de este efecto de convergencia Tweedie . ^[42]

Métodos gráficos de identificación

Aunque se han propuesto métodos más sofisticados y robustos, los métodos gráficos más utilizados para identificar distribuciones de probabilidad de ley de potencias utilizando muestras aleatorias son los gráficos de cuantil-cuantiles de Pareto (o gráficos de Pareto Q-Q ), ^{[ cita requerida ]} gráficos de vida residual media ^{[ 43] [44]} y gráficos log-log . Otro método gráfico más robusto utiliza paquetes de funciones cuantílicas residuales. ^[45](Tenga en cuenta que las distribuciones de ley de potencias también se denominan distribuciones de tipo Pareto). Aquí se supone que se obtiene una muestra aleatoria a partir de una distribución de probabilidad y que queremos saber si la cola de la distribución sigue una ley de potencias. (en otras palabras, queremos saber si la distribución tiene una "cola de Pareto"). Aquí, la muestra aleatoria se llama "los datos".

Las gráficas de Pareto Q – Q comparan los cuantiles de los datos transformados logarítmicamente con los cuantiles correspondientes de una distribución exponencial con media 1 (o con los cuantiles de una distribución de Pareto estándar) trazando el primero frente al último. Si la gráfica de dispersión resultante sugiere que los puntos graficados "convergen asintóticamente" a una línea recta, entonces debe sospecharse una distribución de ley de potencias. Una limitación de las gráficas Pareto Q – Q es que se comportan mal cuando el índice de cola (también llamado índice de Pareto) está cerca de 0, porque las gráficas Pareto Q – Q no están diseñadas para identificar distribuciones con colas que varían lentamente. ^[45]${\displaystyle \alpha }$

Por otro lado, en su versión para identificar distribuciones de probabilidad de ley de potencias, la gráfica de vida residual media consiste en primero transformar los datos en logaritmos, y luego graficar el promedio de los datos transformados en logaritmos que son superiores al i -ésimo orden. estadístico versus estadístico de i -ésimo orden, para i  = 1, ...,  n , donde n es el tamaño de la muestra aleatoria. Si la gráfica de dispersión resultante sugiere que los puntos graficados tienden a "estabilizarse" alrededor de una línea recta horizontal, entonces debe sospecharse una distribución de ley de potencias. Dado que la gráfica de vida residual media es muy sensible a valores atípicos (no es robusta), generalmente produce gráficas que son difíciles de interpretar; Por esta razón, tales tramas se suelen llamar tramas de terror de Hill.^[46]

Una línea recta en una gráfica logarítmica es necesaria pero evidencia insuficiente para las leyes de potencia, la pendiente de la línea recta corresponde al exponente de la ley de potencia.

Las gráficas logarítmicas son una forma alternativa de examinar gráficamente la cola de una distribución utilizando una muestra aleatoria. Sin embargo, se debe tener precaución ya que es necesaria una gráfica logarítmica pero no hay evidencia suficiente para una relación de ley de potencias, ya que muchas distribuciones sin ley de potencias aparecerán como líneas rectas en una gráfica logarítmica de logaritmo. ^{[47] [48]}Este método consiste en graficar el logaritmo de un estimador de la probabilidad de que ocurra un número particular de la distribución versus el logaritmo de ese número particular. Por lo general, este estimador es la proporción de veces que aparece el número en el conjunto de datos. Si los puntos en la gráfica tienden a "converger" en una línea recta para números grandes en el eje x, entonces el investigador concluye que la distribución tiene una cola de ley de potencias. Se han publicado ejemplos de la aplicación de este tipo de parcelas. ^[49] Una desventaja de estos gráficos es que, para que proporcionen resultados fiables, requieren una gran cantidad de datos. Además, son apropiados solo para datos discretos (o agrupados).

Se ha propuesto otro método gráfico para la identificación de distribuciones de probabilidad de ley de potencias utilizando muestras aleatorias. ^[45] Esta metodología consiste en trazar un paquete para la muestra transformada logarítmicamente . Originalmente propuesta como una herramienta para explorar la existencia de momentos y la función de generación de momentos utilizando muestras aleatorias, la metodología de paquetes se basa en funciones de cuantiles residuales (RQF), también llamadas funciones de percentiles residuales, ^{[50] [51] [52] [53 ] [54] [55] [56]}que proporcionan una caracterización completa del comportamiento de la cola de muchas distribuciones de probabilidad conocidas, incluidas distribuciones de ley de potencias, distribuciones con otros tipos de colas pesadas e incluso distribuciones sin colas pesadas. Las gráficas de paquetes no tienen las desventajas de las gráficas Pareto Q – Q, las gráficas de vida residual media y las gráficas log-log mencionadas anteriormente (son robustas a valores atípicos, permiten identificar visualmente leyes de potencia con valores pequeños de y no exigen la recopilación de mucho datos). ^{[ cita requerida ]} Además, se pueden identificar otros tipos de comportamiento de la cola usando diagramas de paquetes.${\displaystyle \alpha }$

Trazar distribuciones de ley de potencias

En general, las distribuciones de la ley de potencias se trazan en ejes doblemente logarítmicos , lo que enfatiza la región de la cola superior. La manera más conveniente de hacerlo es a través de la (complementario) de distribución acumulativa (CCDF), es decir, la función de supervivencia , ,${\displaystyle P(x)=\mathrm {Pr} (X>x)}$

${\displaystyle P(x)=\Pr(X>x)=C\int _{x}^{\infty }p(X)\,\mathrm {d} X={\frac {\alpha -1}{x_{\min }^{-\alpha +1}}}\int _{x}^{\infty }X^{-\alpha }\,\mathrm {d} X=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha +1}.}$

La CDF también es una función de ley de potencias, pero con un exponente de escala menor. Para los datos, una forma equivalente de la CDF es el enfoque de frecuencia de rango, en el que primero clasificamos los valores observados en orden ascendente y los trazamos contra el vector .${\displaystyle n}$${\displaystyle \left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]}$

Aunque puede ser conveniente hacer un log-bin de los datos, o suavizar la función de densidad de probabilidad (masa) directamente, estos métodos introducen un sesgo implícito en la representación de los datos y, por lo tanto, deben evitarse. ^{[57] [58]} La función de supervivencia, por otro lado, es más robusta (pero no sin) tales sesgos en los datos y conserva la firma lineal en ejes doblemente logarítmicos. Aunque se favorece la representación de una función de supervivencia sobre la del pdf mientras se ajusta una ley de potencia a los datos con el método de mínimos cuadrados lineales, no carece de inexactitud matemática. Por lo tanto, al estimar exponentes de una distribución de ley de potencias, se recomienda el estimador de máxima verosimilitud.

Estimación del exponente a partir de datos empíricos

Hay muchas formas de estimar el valor del exponente de escala para una cola de ley de potencias, sin embargo, no todas dan respuestas insesgadas y consistentes . Algunas de las técnicas más fiables se basan a menudo en el método de máxima probabilidad . Los métodos alternativos a menudo se basan en hacer una regresión lineal en la probabilidad log-log, la función de distribución acumulativa log-log o en datos agrupados en log, pero estos enfoques deben evitarse ya que todos pueden conducir a estimaciones altamente sesgadas de la exponente de escala. ^[9]

Máxima probabilidad

Para datos de valor real, independientes e idénticamente distribuidos , ajustamos una distribución de ley de potencia del formulario

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$

a los datos , donde se incluye el coeficiente para asegurar que la distribución esté normalizada . Dada una opción para , la función logarítmica de verosimilitud se convierte en:${\displaystyle x\geq x_{\min }}$${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$${\displaystyle x_{\min }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\alpha )=\log \prod _{i=1}^{n}{\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$

El máximo de esta probabilidad se encuentra diferenciando con respecto al parámetro , estableciendo el resultado igual a cero. Tras el reordenamiento, esto produce la ecuación del estimador:${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=1+n\left[\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right]^{-1}}$

dónde están los puntos de datos . ^{[2] [59]} Este estimador exhibe un pequeño sesgo de orden de tamaño de muestra finito , que es pequeño cuando n  > 100. Además, el error estándar de la estimación es . Este estimador es equivalente al popular ^{[ cita requerida ]} estimador Hill de las finanzas cuantitativas y la teoría del valor extremo . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$${\displaystyle O(n^{-1})}$${\displaystyle \sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})}$

Para un conjunto de n puntos de datos con valores enteros , nuevamente donde cada uno , el exponente de máxima verosimilitud es la solución a la ecuación trascendental${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$

${\displaystyle {\frac {\zeta '({\hat {\alpha }},x_{\min })}{\zeta ({\hat {\alpha }},x_{\min })}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}}$

donde está la función zeta incompleta . La incertidumbre en esta estimación sigue la misma fórmula que para la ecuación continua. Sin embargo, las dos ecuaciones para no son equivalentes y la versión continua no debe aplicarse a datos discretos, ni viceversa.${\displaystyle \zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

Además, ambos estimadores requieren la elección de . Para funciones con una función no trivial , elegir demasiado pequeño produce un sesgo significativo , mientras que elegirlo demasiado grande aumenta la incertidumbre y reduce el poder estadístico de nuestro modelo. En general, la mejor elección depende en gran medida de la forma particular de la cola inferior, representada por arriba.${\displaystyle x_{\min }}$${\displaystyle L(x)}$${\displaystyle x_{\min }}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle x_{\min }}$${\displaystyle L(x)}$

Puede encontrar más información sobre estos métodos y las condiciones en las que se pueden utilizar en. ^[9] Además, este artículo de revisión integral proporciona código utilizable (Matlab, Python, R y C ++) para estimar y probar rutinas para distribuciones de ley de potencia.

Estimación de Kolmogorov-Smirnov

Otro método para la estimación del exponente de ley de potencia, que no asume independientes e idénticamente distribuidas de datos (IID), utiliza la minimización del estadístico de Kolmogorov-Smirnov , entre las funciones de distribución acumulativa de los datos y la ley de potencia:${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\underset {\alpha }{\operatorname {arg\,min} }}\,D_{\alpha }}$

con

${\displaystyle D_{\alpha }=\max _{x}|P_{\mathrm {emp} }(x)-P_{\alpha }(x)|}$

donde y denotan las CDF de los datos y la ley de potencia con exponente , respectivamente. Como este método no asume datos iid, proporciona una forma alternativa de determinar el exponente de la ley de potencias para conjuntos de datos en los que no se puede ignorar la correlación temporal. ^[4]${\displaystyle P_{\mathrm {emp} }(x)}$${\displaystyle P_{\alpha }(x)}$${\displaystyle \alpha }$

Método de ajuste de dos puntos

Este criterio ^{[ aclaración necesaria ]} se puede aplicar para la estimación del exponente de la ley de potencias en el caso de distribuciones libres de escala y proporciona una estimación más convergente que el método de máxima verosimilitud. ^{[ cita requerida ]} Se ha aplicado para estudiar distribuciones de probabilidad de aperturas de fracturas. ^{[ cita requerida ]} En algunos contextos, la distribución de probabilidad se describe, no por la función de distribución acumulada , por la frecuencia acumulada de una propiedad X , definida como el número de elementos por metro (o unidad de área, segundo, etc.) para los cuales X  >  Xse aplica, donde x es un número real variable. Como ejemplo, ^{[ cita requerida ]} la distribución acumulativa de la apertura de la fractura, X , para una muestra de N elementos se define como 'el número de fracturas por metro que tienen una apertura mayor que x . El uso de la frecuencia acumulativa tiene algunas ventajas, por ejemplo, permite colocar en el mismo diagrama datos recopilados de líneas de muestra de diferentes longitudes a diferentes escalas (por ejemplo, de afloramientos y microscopios).

Validación de leyes de poder

Aunque las relaciones de ley de potencias son atractivas por muchas razones teóricas, demostrar que los datos sí siguen una relación de ley de potencias requiere más que simplemente ajustar un modelo particular a los datos. ^[26] Esto es importante para comprender el mecanismo que da lugar a la distribución: pueden surgir distribuciones superficialmente similares por razones significativamente diferentes, y diferentes modelos producen predicciones diferentes, como la extrapolación.

Por ejemplo, las distribuciones logarítmicas normales a menudo se confunden con distribuciones de ley de potencias: ^[60] un conjunto de datos extraído de una distribución logarítmica normal será aproximadamente lineal para valores grandes (correspondiente a que la cola superior de lo logarítmico normal esté cerca de una ley de potencia) ^{[ aclaración necesaria ]} , pero para valores pequeños el lognormal caerá significativamente (inclinándose hacia abajo), lo que corresponde a que la cola inferior del lognormal sea pequeña (hay muy pocos valores pequeños, en lugar de muchos valores pequeños en una ley de potencia). ^{[ cita requerida ]}

Por ejemplo, la ley de Gibrat sobre los procesos de crecimiento proporcional produce distribuciones que son logarítmicas normales, aunque sus gráficas logarítmicas parecen lineales en un rango limitado. Una explicación de esto es que aunque el logaritmo de la función de densidad logarítmica normal es cuadrático en log ( x ) , lo que produce una forma "arqueada" en una gráfica logarítmica-logarítmica, si el término cuadrático es pequeño en relación con el término lineal, el resultado puede parecen casi lineales, y el comportamiento logarítmico normal solo es visible cuando domina el término cuadrático, lo que puede requerir una cantidad significativamente mayor de datos. Por lo tanto, una gráfica logarítmica que está ligeramente "inclinada" hacia abajo puede reflejar una distribución logarítmica normal, no una ley de potencia.

En general, puede parecer que muchas formas funcionales alternativas siguen una forma de ley de potencias hasta cierto punto. ^[61] Stumpf ^[62] propuso trazar la función de distribución acumulativa empírica en el dominio log-log y afirmó que una ley de potencia candidata debería cubrir al menos dos órdenes de magnitud. Además, los investigadores generalmente tienen que enfrentarse al problema de decidir si una distribución de probabilidad del mundo real sigue una ley de potencia o no. Como solución a este problema, Díaz ^[45]propuso una metodología gráfica basada en muestras aleatorias que permiten discernir visualmente entre diferentes tipos de comportamiento de la cola. Esta metodología utiliza conjuntos de funciones de cuantiles residuales, también llamadas funciones de vida residual de percentiles, que caracterizan muchos tipos diferentes de colas de distribución, incluidas las colas pesadas y no pesadas. Sin embargo, Stumpf ^[62] afirmó la necesidad de un trasfondo tanto estadístico como teórico para sustentar una ley de potencia en el mecanismo subyacente que impulsa el proceso de generación de datos.

Un método para validar una relación de ley de potencias prueba muchas predicciones ortogonales de un mecanismo generativo particular contra datos. El simple hecho de ajustar una relación de ley de potencias a un tipo particular de datos no se considera un enfoque racional. Como tal, la validación de las afirmaciones de la ley de potencias sigue siendo un campo de investigación muy activo en muchas áreas de la ciencia moderna. ^[9]

Ver también

Atenuación acústica Alometría Distribución de cola grasa Singularidad de tiempo finito Cálculo fraccional Dinámica fraccional Distribuciones de cola pesada Crecimiento hiperbólico Vuelo de Lévy

Cola larga Distribución de Pareto Fluido de ley de potencia Modelo Simon Distribución estable Ley de potencia de Stevens Concentración de riqueza Webgraph

Referencias

Notas

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Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con las leyes de poder .

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• Ley de la tiranía del poder del blog de Econophysics
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• Script MATLAB simple que agrupa datos para ilustrar distribuciones de ley de potencia (si las hay) en los datos.
• Erdős Webgraph Server visualiza la distribución de los grados del webgraph en la página de descarga .