En la teoría de la probabilidad , la transformación integral de probabilidad (también conocida como universalidad del uniforme ) se relaciona con el resultado de que los valores de datos que se modelan como variables aleatorias de cualquier distribución continua dada pueden convertirse en variables aleatorias que tienen una distribución uniforme estándar . [1] Esto es válido siempre que la distribución que se utilice sea la verdadera distribución de las variables aleatorias; si la distribución se ajusta a los datos, el resultado se mantendrá aproximadamente en muestras grandes.
En ocasiones, el resultado se modifica o amplía de modo que el resultado de la transformación sea una distribución estándar distinta de la distribución uniforme, como la distribución exponencial .
Aplicaciones
Un uso de la transformada integral de probabilidad en el análisis de datos estadísticos es proporcionar la base para probar si un conjunto de observaciones puede modelarse razonablemente como resultado de una distribución específica. Específicamente, la transformada integral de probabilidad se aplica para construir un conjunto equivalente de valores, y luego se realiza una prueba de si una distribución uniforme es apropiada para el conjunto de datos construido. Ejemplos de esto son los gráficos de PP y las pruebas de Kolmogorov-Smirnov .
Un segundo uso de la transformación está en la teoría relacionada con las cópulas, que son un medio tanto para definir como para trabajar con distribuciones para datos multivariados estadísticamente dependientes. Aquí el problema de definir o manipular una distribución de probabilidad conjunta para un conjunto de variables aleatorias se simplifica o reduce en aparente complejidad aplicando la transformada integral de probabilidad a cada uno de los componentes y luego trabajando con una distribución conjunta para la cual las variables marginales tienen distribuciones uniformes. .
Un tercer uso se basa en aplicar la inversa de la transformada integral de probabilidad para convertir variables aleatorias de una distribución uniforme para tener una distribución seleccionada: esto se conoce como muestreo por transformada inversa .
Declaración
Supongamos que una variable aleatoria X tiene una distribución continua para el cual la función de distribución acumulativa (CDF) es F X . Entonces la variable aleatoria Y definida como
tiene una distribución uniforme estándar . [1]
Prueba
Dada cualquier variable continua aleatoria , definir . Luego:
es solo el CDF de un variable aleatoria. Por lo tanto, tiene una distribución uniforme en el intervalo .
Ejemplos de
Para un ejemplo ilustrativo, sea X una variable aleatoria con una distribución normal estándar. Entonces su CDF es
dónde es la función de error . Entonces, la nueva variable aleatoria Y , definida por Y = Φ ( X ), se distribuye uniformemente.
Si X tiene una distribución exponencial con media unitaria, entonces su CDF es
y el resultado inmediato de la transformada integral de probabilidad es que
tiene una distribución uniforme. La simetría de la distribución uniforme se puede utilizar para demostrar que
también tiene una distribución uniforme.
Ver también
Referencias
- ^ a b Dodge, Y. (2006) El diccionario de términos estadísticos de Oxford , Oxford University Press .