Métrica del producto

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En matemáticas , una métrica de producto es una métrica del producto cartesiano de un número finito de espacios métricos que mide la topología del producto. Las métricas de producto más destacadas son las métricas de producto p para un fijo  : se define como la norma p del n -vector de las distancias medidas en n subespacios:${\ Displaystyle (X_ {1}, d_ {X_ {1}}), \ ldots, (X_ {n}, d_ {X_ {n}})}$ ${\ Displaystyle p \ in [1, \ infty)}$

Para esta métrica también se denomina métrica sup:${\ Displaystyle p = \ infty}$

Para los espacios euclidianos , el uso de la norma L ₂ da lugar a la métrica euclidiana en el espacio del producto; sin embargo, cualquier otra elección de p conducirá a un espacio métrico topológicamente equivalente. En la categoría de espacios métricos (con mapas de Lipschitz que tienen la constante de Lipschitz 1), el producto (en el sentido de la teoría de categorías) usa la métrica sup.

Para variedades de Riemann y , la métrica del producto en se define por ${\ Displaystyle (M_ {1}, g_ {1})}$${\ Displaystyle (M_ {2}, g_ {2})}$ ${\ Displaystyle g = g_ {1} \ oplus g_ {2}}$${\ Displaystyle M_ {1} \ times M_ {2}}$

por debajo de la identificación natural .${\ Displaystyle X_ {i}, Y_ {i} \ in T_ {p_ {i}} M_ {i}}$${\ Displaystyle T _ {(p_ {1}, p_ {2})} (M_ {1} \ times M_ {2}) = T_ {p_ {1}} M_ {1} \ oplus T_ {p_ {2}} M_ {2}}$

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