En matemáticas , y más específicamente en geometría proyectiva , un marco proyectivo o base proyectiva es una tupla de puntos en un espacio proyectivo que puede usarse para definir coordenadas homogéneas en este espacio. Más precisamente, en un espacio proyectivo de dimensión n , un marco proyectivo es una n + 2 -tupla de puntos tal que ningún hiperplano contiene n + 1 de ellos. Un marco proyectivo a veces se llama simplex , [1] aunque un simplex en un espacio de dimensión ntiene como máximo n + 1 vértices.
En este artículo, solo se consideran los espacios proyectivos sobre un campo K , aunque la mayoría de los resultados se pueden generalizar a espacios proyectivos sobre un anillo de división .
Sea P ( V ) un espacio proyectivo de dimensión n , donde V es un espacio de vectores K de dimensión n + 1 . Dejarser la proyección canónica que mapea un vector v distinto de cero al punto correspondiente de P ( V ) , que es la línea del vector que contiene v .
Cada cuadro de P ( V ) se puede escribir como para algunos vectores de V . La definición implica la existencia de elementos distintos de cero de K tales que. Reemplazo por por y por , se obtiene la siguiente caracterización de un marco:
- n + 2 puntos de P ( V ) forman un marco si y solo si son la imagen por p de una base de V y la suma de sus elementos.
Por otra parte, dos bases definen el mismo marco de esta manera, si y sólo si los elementos de la segunda son los productos de los elementos de la primera uno por un elemento distinto de cero fijo de K .
Como las homografías de P ( V ) son inducidas por endomorfismos lineales de V , se deduce que, dados dos fotogramas, hay exactamente una homografía que mapea el primero sobre el segundo. En particular, la única homografía que fija los puntos de un marco es el mapa de identidad . Este resultado es mucho más difícil en geometría sintética (donde los espacios proyectivos se definen a través de axiomas). A veces se le llama el primer teorema fundamental de la geometría proyectiva . [2]
Cada cuadro se puede escribir como dónde es base de V . Las coordenadas proyectivas o coordenadas homogéneas de un punto p ( v ) sobre este marco son las coordenadas del vector v sobre la baseSi se cambian los vectores que representan el punto p ( v ) y los elementos del marco, las coordenadas se multiplican por un escalar fijo distinto de cero.
Comúnmente, se considera el espacio proyectivo P n ( K ) = P ( K n +1 ) . Tiene un marco canónico que consiste en la imagen por p de la base canónica de K n +1 (que consiste en los elementos que tienen solo una entrada distinta de cero, que es igual a 1), y (1, 1, ..., 1) . Sobre esta base, las coordenadas homogéneas de p ( v ) son simplemente las entradas (coeficientes) de v .
Dado otro espacio proyectivo P ( V ) de la misma dimensión n , y un marco F del mismo, hay exactamente una homografía h que mapea F en el marco canónico de P ( K n +1 ) . Las coordenadas proyectivas de un punto a en el marco F son las coordenadas homogéneas de h ( a ) en el marco canónico de P n ( K ) .
En el caso de una línea proyectiva, un marco consta de tres puntos distintos. Si P 1 ( K ) se identifica con K con un punto en el infinito ∞ agregado, entonces su marco canónico es (∞, 0, 1) . Dado cualquier marco ( a 0 , a 1 , a 2 ), las coordenadas proyectivas de un punto a ≠ a 0 son ( r , 1) , donde r es la relación cruzada ( a , a 2 ; a 1 , a 0 ) . Si a = a 0 , la relación cruzada es el infinito y las coordenadas proyectivas son (1,0) .
Referencias
- Baer, Reinhold (2005) [Publicado por primera vez en 1952], Álgebra lineal y geometría proyectiva , Dover, ISBN 9780486445656
- Berger, Marcel (2009), Geometría I , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-11658-5, traducido del original francés de 1977 por M. Cole y S. Levy, cuarta edición de la traducción inglesa de 1987