Pruebas que realmente cuentan: el arte de la prueba combinatoria es un libro de matemáticas de nivel universitario sobre pruebas combinatorias de identidades matemáticas . Es decir, se trata de ecuaciones entre dosfórmulas con valores enteros , que se muestran iguales ya sea mostrando que ambos lados de la ecuación cuentan el mismo tipo de objetos matemáticos o encontrando una correspondencia uno a uno entre los diferentes tipos de objetos. que cuentan. Fue escrito por Arthur T. Benjamin y Jennifer Quinn , y publicado en 2003 por la Asociación Matemática de América como el volumen 27 de su serie Dolciani Mathematical Expositions. Ganó elPremio del Libro Beckenbach de la Asociación Matemática de América.
Temas
El libro proporciona pruebas combinatorias de trece teoremas en combinatoria y 246 identidades numeradas (recopiladas en un apéndice). [1] También se incluyen varias "identidades no contadas" adicionales. [2] Muchas pruebas se basan en un método de razonamiento visual que los autores llaman "mosaico", [1] [3] y en un prólogo, los autores describen su trabajo como un seguimiento para contar problemas de la Prueba sin Libros de palabras de Roger B. Nelson. [3]
Los primeros tres capítulos del libro comienzan con secuencias enteras definidas por relaciones de recurrencia lineal , cuyo ejemplo prototípico es la secuencia de números de Fibonacci . A estos números se les puede dar una interpretación combinatoria como el número de formas de teselar untira de cuadrados con fichas de dos tipos, cuadrados simples y dominó; esta interpretación puede usarse para probar muchas de las identidades fundamentales que involucran los números de Fibonacci, y generalizarse a relaciones similares sobre otras secuencias definidas de manera similar, [4] como los números de Lucas , [5] usando "mosaicos circulares y mosaicos de colores". [6] Por ejemplo, para los números de Fibonacci, considerando si un mosaico conecta o no posiciones y de una tira de largo conduce inmediatamente a la identidad [5]
Los capítulos cuatro a siete del libro se refieren a identidades que involucran fracciones continuas , coeficientes binomiales , números armónicos , números de Stirling y factoriales . El octavo capítulo se ramifica desde la combinatoria hacia la teoría de números y el álgebra abstracta , y el capítulo final vuelve a los números de Fibonacci con material más avanzado sobre sus identidades. [4]
Audiencia y recepción
El libro está dirigido a estudiantes de matemáticas de pregrado, pero el material es en gran parte autónomo y también podría ser leído por estudiantes de secundaria avanzados. [4] [6] Además, muchos de los capítulos del libro son en sí mismos independientes, lo que permite órdenes de lectura arbitrarias o extractos de este material para usar en clases. [2] Aunque está estructurado como un libro de texto con ejercicios en cada capítulo, [4] el revisor Robert Beezer escribe que "no pretende ser un libro de texto", sino más bien un "recurso" para profesores e investigadores. [2] Haciendo eco de esto, el crítico Joe Roberts escribe que a pesar de su naturaleza elemental, este libro debería ser "valioso como referencia ... para cualquiera que trabaje con tales identidades". [1]
En una revisión inicial, Darren Glass se quejó de que muchos de los resultados se presentan como fórmulas secas, sin ningún contexto ni explicación de por qué deberían ser interesantes o útiles, y que esta falta de contexto sería un obstáculo para utilizarlo como texto principal. para una clase. [4] No obstante, en una segunda reseña después de un año de poseer el libro, escribió que lo estaba "prestando a una persona tras otra". [7] El crítico Peter G. Anderson elogia las "hermosas formas de ver las matemáticas antiguas y familiares y algunas matemáticas nuevas también", y lo llama "un tesoro". [5] El crítico Gerald L. Alexanderson describe las pruebas del libro como "ingeniosas, concretas y memorables". [3] La mención del premio del libro Beckenbach Book Prize 2006 establece que "ilustra de una manera mágica la omnipresencia y el poder de las técnicas de conteo en las matemáticas. Es uno de esos libros raros que atraerán al profesional matemático y seducirán al neófito". . " [8]
Uno de los problemas abiertos del libro, que buscaba una prueba biyectiva de una identidad que combinaba coeficientes binomiales con números de Fibonacci, fue posteriormente respondido positivamente por Doron Zeilberger . En el sitio web donde enlaza una preimpresión de su artículo, Zeilberger escribe:
"Cuando era joven y guapo, no podía ver una identidad sin tratar de probarla bijetivamente. De alguna manera, me deshice de esta adicción. Pero el impulso se reavivó cuando leí la obra maestra de Arthur Benjamin y Jennifer Quinn Pruebas que realmente cuentan . " [9]
Reconocimiento
Proofs That Really Count ganó el Premio del Libro Beckenbach 2006 de la Asociación Matemática de América, [8] y el Premio CHOICE 2010 al Título Académico Sobresaliente de la Asociación Americana de Bibliotecas . [10] Ha sido incluido por el Comité de Lista de Bibliotecas Básicas de la Asociación de Matemáticas de América como esencial para su inclusión en cualquier biblioteca de matemáticas de pregrado. [4]
Referencias
- ^ a b c Roberts, Joe (2004), "Revisión de pruebas que realmente cuentan ", Revisiones matemáticas , MR 1997773
- ^ a b c Beezer, Robert A. (septiembre de 2004), "Revisión de pruebas que realmente cuentan ", Revisión de SIAM , 46 (3): 562–563, JSTOR 20453541
- ^ a b c Alexanderson, GL , "Revisión de pruebas que realmente cuentan ", zbMATH , Zbl 1044.11001
- ^ a b c d e f Glass, Darren (octubre de 2003), "Revisión de pruebas que realmente cuentan " , Revisiones de MAA , Asociación Matemática de América
- ^ a b c Anderson, Peter G. (noviembre de 2005), "Revisión de pruebas que realmente cuentan " (PDF) , Fibonacci Quarterly , 43 (4): 326–327
- ^ a b Rayburn, Nell (mayo de 2004), "Revisión de pruebas que realmente cuentan ", The Mathematics Teacher , 97 (5): 382, JSTOR 20871635(atribuido incorrectamente a Larry Hoehn; consulte JSTOR 27971634 para la corrección de la autoría)
- ^ Glass, D. (noviembre de 2004), "Revisión de pruebas que realmente cuentan ", The American Statistician , 58 (4): 360, JSTOR 27643599
- ^ a b "Premio Beckenbach" , premios y reconocimientos en las Reuniones Conjuntas de Matemáticas en San Antonio , Asociación Matemática de América, 18 de enero de 2006
- ^ Zeilberger, Doron (2009), "Una prueba de conteo de Fibonacci suplicada por Benjamin y Quinn" , Actas de la XI Conferencia Internacional sobre Números de Fibonacci y sus Aplicaciones, Congressus Numerantium , 194 : 263-264, MR 2463545
- ^ Pruebas que realmente cuentan: el arte de la prueba combinatoria , American Library Association , consultado el 7 de febrero de 2018
enlaces externos
- Pruebas que realmente cuentan en el archivo de Internet