Número armónico

Suma de los primeros n números enteros recíprocos; 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1 / n

Para otros usos, consulte Número armónico (desambiguación) .

El número armónico con (línea roja) con su límite asintótico (línea azul) donde es la constante de Euler-Mascheroni .${\displaystyle H_{n}}$${\displaystyle n=\lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \gamma +\ln(x)}$${\displaystyle \gamma }$

En matemáticas , el n -ésimo número armónico es la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales :

${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

Los números armónicos están relacionados con la media armónica en que el n -ésimo número armónico es también n veces el recíproco de la media armónica de los primeros n enteros positivos.

Los números armónicos se han estudiado desde la antigüedad y son importantes en varias ramas de la teoría de números . A veces se denominan vagamente series armónicas , están estrechamente relacionadas con la función zeta de Riemann y aparecen en las expresiones de varias funciones especiales .

Los números armónicos se aproximan aproximadamente a la función del logaritmo natural ^{[1] : 143} y, por lo tanto, la serie armónica asociada crece sin límite, aunque lentamente. En 1737, Leonhard Euler utilizó la divergencia de la serie armónica para proporcionar una nueva prueba de la infinidad de números primos . Su trabajo se extendió en el plano complejo por Bernhard Riemann en 1859, lo que lleva directamente a la famosa hipótesis de Riemann sobre la distribución de los números primos .

Cuando el valor de una gran cantidad de artículos tiene una distribución de la ley de Zipf , el valor total de los n artículos más valiosos es proporcional al n -ésimo número armónico. Esto lleva a una variedad de conclusiones sorprendentes con respecto a la cola larga y la teoría del valor de red .

El postulado de Bertrand implica que, excepto en el caso n = 1 , los números armónicos nunca son enteros. ^[2]

Los primeros 40 números armónicos

norte	Número armónico, H n
	expresado como una fracción		decimal	tamano relativo
1	1		1	1
2	3	/ 2	1,5	1,5
3	11	/ 6	~ 1.83333	1.83333
4	25	/ 12	~ 2.08333	2.08333
5	137	/ 60	~ 2.28333	2.28333
6	49	/ 20	2,45	2,45
7	363	/ 140	~ 2.59286	2.59286
8	761	/ 280	~ 2.71786	2.71786
9	7 129	/ 2 520	~ 2.82897	2.82897
10	7 381	/ 2 520	~ 2.92897	2.92897
11	83 711	/ 27 720	~ 3.01988	3.01988
12	86 021	/ 27 720	~ 3.10321	3.10321
13	1 145 993	/ 360 360	~ 3.18013	3.18013
14	1 171 733	/ 360 360	~ 3.25156	3.25156
15	1 195 757	/ 360 360	~ 3.31823	3.31823
dieciséis	2 436 559	/ 720 720	~ 3.38073	3.38073
17	42 142 223	/ 12 252240	~ 3.43955	3.43955
18	14 274 301	/ 4084080	~ 3.49511	3.49511
19	275 295 799	/ 77 597 520	~ 3.54774	3.54774
20	55 835 135	/ 15 519 504	~ 3.59774	3.59774
21	18 858 053	/ 5 173 168	~ 3.64536	3.64536
22	19093 197	/ 5 173 168	~ 3.69081	3.69081
23	444 316 699	/ 118 982 864	~ 3.73429	3.73429
24	1347 822 955	/ 356 948 592	~ 3.77596	3.77596
25	34 052 522 467	/ 8923714 800	~ 3.81596	3.81596
26	34 395 742 267	/ 8923714 800	~ 3.85442	3.85442
27	312 536 252003	/ 80 313 433 200	~ 3.89146	3.89146
28	315 404588 903	/ 80 313 433 200	~ 3.92717	3.92717
29	9 227046 511 387	/ 2 329089562800	~ 3.96165	3.96165
30	9 304 682830147	/ 2 329089562800	~ 3.99499	3.99499
31	290 774 257 297 357	/ 72 201 776 446 800	~ 4.02725	4.02725
32	586061125622639	/ 144 403 552 893 600	~ 4.05850	4.0585
33	53 676090 078 349	/ 13 127 595 717 600	~ 4.08880	4.0888
34	54 062 195 834 749	/ 13 127 595 717 600	~ 4.11821	4.11821
35	54 437 269 998 109	/ 13 127 595 717 600	~ 4.14678	4.14678
36	54 801925 434 709	/ 13 127 595 717 600	~ 4.17456	4.17456
37	2040 798 836 801 833	/ 485 721041551200	~ 4.20159	4.20159
38	2053 580 969 474 233	/ 485 721041551200	~ 4.22790	4.2279
39	2066035355155033	/ 485 721041551200	~ 4.25354	4.25354
40	2078 178 381 193 813	/ 485 721041551200	~ 4.27854	4.27854

Identidades que involucran números armónicos

Por definición, los números armónicos satisfacen la relación de recurrencia

${\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}.}$

Los números armónicos están conectados a los números de Stirling del primer tipo por la relación

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$

Las funciones

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}(\log x-H_{n})}$

satisfacer la propiedad

${\displaystyle f_{n}'(x)=f_{n-1}(x).}$

En particular

${\displaystyle f_{1}(x)=x(\log x-1)}$

es una integral de la función logarítmica.

Los números armónicos satisfacen las identidades de la serie.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n.}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.}$

estos dos resultados son muy análogos a los correspondientes resultados integrales

${\displaystyle \int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x}$

Identidades que involucran a π

Hay varias sumas infinitas que involucran números armónicos y potencias de π : ^[3]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}={\frac {1}{12}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}={\frac {11}{360}}\pi ^{4}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}={\frac {17}{360}}\pi ^{4}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}={\frac {1}{72}}\pi ^{4}}$

Cálculo

Una representación integral dada por Euler ^[4] es

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}$

La igualdad anterior es sencilla por la identidad algebraica simple

${\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.}$

Usando la sustitución x = 1 - u , otra expresión para H _n es

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$

Gráfico que demuestra una conexión entre números armónicos y el logaritmo natural . El número armónico H _n se puede interpretar como una suma de Riemann de la integral:${\displaystyle \int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).}$

El n- ésimo número armónico es tan grande como el logaritmo natural de n . La razón es que la suma se aproxima por la integral

${\displaystyle \int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,}$

cuyo valor es ln n .

Los valores de la secuencia H _n - ln n disminuyen monótonamente hacia el límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,}$

donde γ ≈ 0.5772156649 es la constante de Euler-Mascheroni . La expansión asintótica correspondiente es

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}}$

donde B _k son los números de Bernoulli .

Generando funciones

Una función generadora para los números armónicos es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},}$

donde ln ( z ) es el logaritmo natural . Una función generadora exponencial es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}\operatorname {Ein} (z)}$

donde Ein ( z ) es la integral exponencial completa . Tenga en cuenta que

${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z}$

donde Γ (0, z ) es la función gamma incompleta .

Propiedades aritméticas

Los números armónicos tienen varias propiedades aritméticas interesantes. Es bien sabido que es un número entero si y solo si , un resultado a menudo atribuido a Taeisinger. ^[5] De hecho, usando la valoración 2-ádica , no es difícil probar que para el numerador de es un número impar mientras que el denominador de es un número par. Más precisamente,${\textstyle H_{n}}$ ${\textstyle n=1}$${\textstyle n\geq 2}$${\textstyle H_{n}}$${\textstyle H_{n}}$

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

con algunos enteros impares y .${\textstyle a_{n}}$${\textstyle b_{n}}$

Como consecuencia del teorema de Wolstenholme , para cualquier número primo el numerador de es divisible por . Además, Eisenstein ^[6] demostró que para todo número primo impar se cumple${\displaystyle p\geq 5}$${\displaystyle H_{p-1}}$${\textstyle p^{2}}$${\textstyle p}$

${\displaystyle H_{(p-1)/2}\equiv -2q_{p}(2){\pmod {p}}}$

donde es un cociente de Fermat , con la consecuencia de que divide el numerador de si y solo si es un primo de Wieferich .${\textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p}$${\textstyle p}$${\displaystyle H_{(p-1)/2}}$${\textstyle p}$

En 1991, Eswarathasan y Levine ^[7] definieron como el conjunto de todos los enteros positivos tales que el numerador de es divisible por un número primo. Demostraron que${\displaystyle J_{p}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}}$${\displaystyle p.}$

${\displaystyle \{p-1,p^{2}-p,p^{2}-1\}\subseteq J_{p}}$

para todos los números primos y definieron los primos armónicos como los primos que tienen exactamente 3 elementos.${\displaystyle p\geq 5,}$${\textstyle p}$${\displaystyle J(p)}$

Eswarathasan y Levine también conjeturaron que es un conjunto finito para todos los primos y que hay infinitos primos armónicos. Boyd ^[8] verificó que es finito para todos los números primos hasta excepto 83, 127 y 397; y dio una heurística sugiriendo que la densidad de los primos armónicos en el conjunto de todos los primos debería ser . Sanna ^[9] demostró que tiene densidad asintótica cero , mientras que Bing-Ling Wu y Yong-Gao Chen ^[10] demostraron que el número de elementos de no exceder es como máximo , para todos .${\displaystyle J_{p}}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle J_{p}}$${\displaystyle p=547}$${\displaystyle 1/e}$${\displaystyle J_{p}}$${\displaystyle J_{p}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 3x^{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{25\log p}}}}$${\displaystyle x\geq 1}$

Aplicaciones

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de cálculo, como la función digamma

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .}$

Esta relación también se usa con frecuencia para definir la extensión de los números armónicos a n no enteros . Los números armónicos también se utilizan con frecuencia para definir γ utilizando el límite introducido anteriormente:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln(n)\right)},}$

aunque

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}}$

converge más rápidamente.

En 2002, Jeffrey Lagarias demostró ^[11] que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+(\log H_{n})e^{H_{n}},}$

es cierto para todo entero n ≥ 1 con desigualdad estricta si n > 1 ; aquí σ ( n ) denota la suma de los divisores de n .

Los valores propios del problema no local

${\displaystyle \lambda \varphi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\varphi (x)-\varphi (y)}{|x-y|}}\,dy}$

están dadas por , donde por convención , y las funciones propias correspondientes están dadas por los polinomios de Legendre . ^[12]${\displaystyle \lambda =2H_{n}}$${\displaystyle H_{0}=0}$ ${\displaystyle \varphi (x)=P_{n}(x)}$

Generalizaciones

Números armónicos generalizados

El número armónico generalizado de orden m de n viene dado por

${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}$

Otras notaciones que se utilizan ocasionalmente incluyen

${\displaystyle H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n).}$

El caso especial de m = 0 da El caso especial de m = 1 se llama simplemente un número armónico y con frecuencia se escribe sin la m , como${\displaystyle H_{n,0}=n.}$

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

El límite cuando n → ∞ es finito si m > 1 , con el número armónico generalizado acotado y convergente a la función zeta de Riemann

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}$

El número natural más pequeño k tal que k ⁿ no divide el denominador del número armónico generalizado H ( k , n ) ni el denominador del número armónico generalizado alterno H ′ ( k , n ) es, para n = 1, 2, .. .:

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (secuencia A128670 en la OEIS )

La suma relacionada ocurre en el estudio de los números de Bernoulli ; los números armónicos también aparecen en el estudio de los números de Stirling .${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}$

Algunas integrales de números armónicos generalizados son

${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H_{a}}$

y

${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=aA-{\frac {1}{2}}H_{a,2},}$donde A es la constante de Apéry , es decir, ζ (3).

y

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{ for }}m\geq 0}$

Cada número armónico generalizado de orden m puede escribirse como una función de armónico de orden m-1 usando:

${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{\frac {H_{n,m-1}}{n}}}$   por ejemplo: ${\displaystyle H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}}$

Una función generadora para los números armónicos generalizados es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},}$

donde es el polilogaritmo , y | z | <1 . La función generadora dada arriba para m = 1 es un caso especial de esta fórmula.${\displaystyle \operatorname {Li} _{m}(z)}$

Se puede introducir un argumento fraccionario para números armónicos generalizados de la siguiente manera:

Para cada entero, y entero o no, tenemos funciones de poligamma:${\displaystyle p,q>0}$${\displaystyle m>1}$

${\displaystyle H_{q/p,m}=\zeta (m)-p^{m}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(q+pk)^{m}}}}$

donde es la función zeta de Riemann . La relación de recurrencia relevante es:${\displaystyle \zeta (m)}$

${\displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}}$

Algunos valores especiales son:

${\displaystyle H_{{\frac {1}{4}},2}=16-8G-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}}$donde G es la constante del catalán

${\displaystyle H_{{\frac {1}{2}},2}=4-{\tfrac {\pi ^{2}}{3}}}$

${\displaystyle H_{{\frac {3}{4}},2}=8G+{\tfrac {16}{9}}-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle H_{{\frac {1}{4}},3}=64-27\zeta (3)-\pi ^{3}}$

${\displaystyle H_{{\frac {1}{2}},3}=8-6\zeta (3)}$

${\displaystyle H_{{\frac {3}{4}},3}={({\tfrac {4}{3}})}^{3}-27\zeta (3)+\pi ^{3}}$

En el caso especial de que obtenemos${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle H_{n,m}=\zeta (m,1)-\zeta (m,n+1)}$,

donde está la función zeta de Hurwitz . Esta relación se utiliza para calcular números armónicos numéricamente.${\displaystyle \zeta (m,n)}$

Fórmulas de multiplicación

El teorema de la multiplicación se aplica a los números armónicos. Usando funciones de poligamma , obtenemos

${\displaystyle H_{2x}={\frac {1}{2}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{2}}}\right)+\ln 2}$

${\displaystyle H_{3x}={\frac {1}{3}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{3}}}+H_{x-{\frac {2}{3}}}\right)+\ln 3,}$

o, de manera más general,

${\displaystyle H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.}$

Para números armónicos generalizados, tenemos

${\displaystyle H_{2x,2}={\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)+{\frac {1}{2}}\left(H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{2}},2}\right)\right)}$

${\displaystyle H_{3x,2}={\frac {1}{9}}\left(6\zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3}},2}+H_{x-{\frac {2}{3}},2}\right),}$

donde es la función zeta de Riemann .${\displaystyle \zeta (n)}$

Números hiperarmónicos

La siguiente generalización fue discutida por JH Conway y RK Guy en su libro de 1995 The Book of Numbers . ^{[1] : 258} Let

${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.}$

Entonces, el n- ésimo número hiperarmónico de orden r ( r> 0 ) se define recursivamente como

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.}$

En particular, es el número armónico ordinario .${\displaystyle H_{n}^{(1)}}$${\displaystyle H_{n}}$

Números armónicos para valores reales y complejos

Esta sección no cita ninguna fuente . Por favor, ayuda a mejorar esta sección mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede cuestionarse y eliminarse . ( Mayo de 2019 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Las fórmulas dadas arriba,

${\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}\,dt=-\sum _{k=1}^{\infty }{x \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}}$

son una representación integral y en serie para una función que interpola los números armónicos y, a través de la continuación analítica , extiende la definición al plano complejo distinto de los enteros negativos x . De hecho, la función de interpolación está estrechamente relacionada con la función digamma

${\displaystyle H_{x}=\psi (x+1)+\gamma ,}$

donde ψ ( x ) es el digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni. El proceso de integración se puede repetir para obtener

${\displaystyle H_{x,2}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{x \choose k}H_{k}.}$

La serie de Taylor para los números armónicos es

${\displaystyle H_{x}=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)\;x^{k-1}\quad {\text{ for }}|x|<1}$

que proviene de la serie de Taylor para la función digamma.

Aproximación utilizando la expansión de la serie de Taylor

El número armónico se puede aproximar usando los primeros términos de la expansión de la serie de Taylor: ^[13]

${\displaystyle H_{n}=\gamma +\log(n)+{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\simeq \gamma +\log(n)+{\frac {1}{2n}}}$

Donde es la constante de Euler-Mascheroni .${\displaystyle \gamma =0.57721...}$

Formulación asintótica alternativa

Cuando se busca aproximar  H _x para un número complejo  x , es efectivo calcular primero  H _m para algún entero grande  m . Use eso para aproximar un valor para  H _{m + x} y luego use la relación de recursión H _n = H _{n −1} + 1 / n hacia atrás  m veces, para desenrollarlo a una aproximación para  H _x . Además, esta aproximación es exacta en el límite cuando  m llega al infinito.

Específicamente, para un entero fijo  n , se da el caso de que

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0\,,}$

Si  n no es un número entero, entonces no es posible decir si esta ecuación es verdadera porque aún no hemos definido (en esta sección) números armónicos para no enteros. Sin embargo, obtenemos una extensión única de los números armónicos a los no enteros insistiendo en que esta ecuación se mantenga cuando el entero arbitrario  n se reemplaza por un número complejo arbitrario  x .

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0\,,}$

Al intercambiar el orden de los dos lados de esta ecuación y luego restarlos de  H _{x se} obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}$

Esta serie infinita converge para todos los números complejos  x excepto los enteros negativos, que fallan porque tratar de usar la relación de recursividad H _n = H _{n −1} + 1 / n hacia atrás a través del valor  n = 0 implica una división por cero. Mediante esta construcción, la función que define el número armónico para valores complejos es la función única que satisface simultáneamente (1) H ₀ = 0 , (2) H _x = H _{x −1} + 1 / x para todos los números complejos  xexcepto los enteros no positivos, y (3) lim _{m → + ∞} ( H _{m + x} - H _m ) = 0 para todos los valores complejos  x .

Tenga en cuenta que esta última fórmula se puede utilizar para demostrar que:

${\displaystyle \int _{0}^{1}H_{x}\,dx=\gamma \,,}$

donde  γ es la constante de Euler-Mascheroni o, más generalmente, para cada  n tenemos:

${\displaystyle \int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln {(n!)}\,.}$

Valores especiales para argumentos fraccionarios

Existen los siguientes valores analíticos especiales para argumentos fraccionarios entre 0 y 1, dados por la integral

${\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}\,dx\,.}$

Se pueden generar más valores a partir de la relación de recurrencia

${\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}\,,}$

o de la relación de reflexión

${\displaystyle H_{1-\alpha }-H_{\alpha }=\pi \cot {(\pi \alpha )}-{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{1-\alpha }}\,.}$

Por ejemplo:

${\displaystyle H_{\frac {1}{2}}=2-2\ln {2}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{3}}=3-{\tfrac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\tfrac {3}{2}}\ln {3}}$

${\displaystyle H_{\frac {2}{3}}={\tfrac {3}{2}}(1-\ln {3})+{\sqrt {3}}{\tfrac {\pi }{6}}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{4}}=4-{\tfrac {\pi }{2}}-3\ln {2}}$

${\displaystyle H_{\frac {3}{4}}={\tfrac {4}{3}}-3\ln {2}+{\tfrac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{6}}=6-{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\tfrac {3}{2}}\ln {3}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{8}}=8-{\tfrac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right\}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{12}}=12-3\left(\ln {2}+{\tfrac {\ln {3}}{2}}\right)-\pi \left(1+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)+2{\sqrt {3}}\ln \left({\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\right)}$

Para enteros positivos p y q con p < q , tenemos:

${\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)}$

Relación con la función zeta de Riemann

Algunas derivadas de números armónicos fraccionarios vienen dadas por:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}}$

Y usando la serie de Maclaurin , tenemos para x <1:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}$

Para argumentos fraccionarios entre 0 y 1, y para a > 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}$

Ver también

• Estimador Watterson
• D de Tajima
• Problema del cobrador de cupones
• Problema de Jeep
• Función zeta de Riemann
• Lista de sumas de recíprocos

Notas

1. John H., Conway; Richard K., Guy (1995). El libro de los números . Copérnico.
2. Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1994). Matemáticas concretas . Addison-Wesley.
3. Sondow, Jonathan y Weisstein, Eric W. "Número armónico". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
4. Sandifer, C. Edward (2007), Cómo lo hizo Euler , MAA Spectrum, Asociación Matemática de América, p. 206, ISBN 9780883855638.
5. Weisstein, Eric W. (2003). Enciclopedia Concisa de Matemáticas CRC . Boca Raton, FL: Chapman & Hall / CRC. pag. 3115. ISBN 978-1-58488-347-0.
6. Eisenstein, Ferdinand Gotthold Max (1850). "Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen ahhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden". Berichte Königl. Preuβ. Akad. Wiss. Berlín . 15 : 36–42.
7. Eswarathasan, Arulappah; Levine, Eugene (1991). "p-sumas armónicas integrales". Matemáticas discretas . 91 (3): 249-257. doi : 10.1016 / 0012-365X (90) 90234-9 .
8. Boyd, David W. (1994). "Un estudio p-ádico de las sumas parciales de la serie armónica" . Matemáticas experimentales . 3 (4): 287-302. CiteSeerX 10.1.1.56.7026 . doi : 10.1080 / 10586458.1994.10504298 . 
9. Sanna, Carlo (2016). "Sobre la valoración p-ádica de números armónicos" (PDF) . Revista de teoría de números . 166 : 41–46. doi : 10.1016 / j.jnt.2016.02.020 . hdl : 2318/1622121 .
10. Chen, Yong-Gao; Wu, Bing-Ling (2017). "Sobre ciertas propiedades de los números armónicos". Revista de teoría de números . 175 : 66–86. doi : 10.1016 / j.jnt.2016.11.027 .
11. Jeffrey Lagarias (2002). "Un problema elemental equivalente a la hipótesis de Riemann". Amer. Matemáticas. Mensual . 109 (6): 534–543. arXiv : matemáticas.NT / 0008177 . doi : 10.2307 / 2695443 . JSTOR 2695443 . 
12. EO Tuck (1964). "Algunos métodos para fluir más allá de cuerpos delgados contundentes". J. Fluid Mech . 18 : 619–635. doi : 10.1017 / S0022112064000453 .
13. Claude Leibovici ( https://math.stackexchange.com/users/82404/claude-leibovici ), Aproximación de la suma de la serie armónica, URL (versión: 2018-11-11): https://math.stackexchange.com/q / 2986766

Referencias

• Arthur T. Benjamin; Gregory O. Preston; Jennifer J. Quinn (2002). "Un encuentro de Stirling con números armónicos" (PDF) . Revista de Matemáticas . 75 (2): 95–103. CiteSeerX  10.1.1.383.722 . doi : 10.2307 / 3219141 . JSTOR  3219141 . Archivado desde el original (PDF) el 17 de junio de 2009 . Consultado el 8 de agosto de 2005 .
• Donald Knuth (1997). "Sección 1.2.7: Números armónicos". El arte de la programación informática . Volumen 1: Algoritmos fundamentales (Tercera ed.). Addison-Wesley. págs. 75–79. ISBN 978-0-201-89683-1.
• Ed Sandifer, Cómo lo hizo Euler: Estimación del problema de Basilea (2003)
• Paule, Peter ; Schneider, Carsten (2003). "Pruebas informáticas de una nueva familia de identidades numéricas armónicas" (PDF) . Adv. Apl. Matemáticas . 31 (2): 359–378. doi : 10.1016 / s0196-8858 (03) 00016-2 .
• Wenchang Chu (2004). "Una identidad de coeficiente binomial asociada con la conjetura de Beukers sobre los números de Apery" (PDF) . La Revista Electrónica de Combinatoria . 11 : N15.
• Ayhan Dil; István Mező (2008). "Un algoritmo simétrico para números hiperarmónicos y de Fibonacci". Matemática Aplicada y Computación . 206 (2): 942–951. arXiv : 0803.4388 . doi : 10.1016 / j.amc.2008.10.013 .

Ver también

• False_discovery_rate # Benjamini – Yekutieli_procedure

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número armónico" . MathWorld .

Este artículo incorpora material de Harmonic number en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .