Pruebas de propiedades elementales del anillo.

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Las siguientes pruebas de propiedades de anillo elementales utilizan solo los axiomas que definen un anillo matemático :

Teorema: ${\ Displaystyle 0 \ cdot a = a \ cdot 0 = 0}$

${\ Displaystyle 0 \ cdot a = (0 + 0) \ cdot a = (0 \ cdot a) + (0 \ cdot a)}$

Teorema: El elemento identidad e para una operación binaria (suma o multiplicación) de un anillo es único.

Teorema: Un anillo es el anillo cero (es decir, consta precisamente de un elemento) si y solo si .${\ Displaystyle (R, +, \ cdot)}$${\ Displaystyle 0 = 1}$

Teorema: ${\ Displaystyle (-1) a = -a}$

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