cono convexo
En álgebra lineal , un cono —a veces llamado cono lineal para distinguirlo de otros tipos de conos— es un subconjunto de un espacio vectorial que se cierra bajo la multiplicación escalar; es decir, C es un cono si implica para todo escalar s .
Cuando los escalares son números reales, o pertenecen a un cuerpo ordenado , generalmente se llama cono a un subconjunto de un espacio vectorial que se cierra bajo la multiplicación por un escalar positivo . En este contexto, un cono convexo es un cono que se cierra con la suma o, de manera equivalente, un subconjunto de un espacio vectorial que se cierra con combinaciones lineales con coeficientes positivos. De ello se deduce que los conos convexos son conjuntos convexos .
Un subconjunto C de un espacio vectorial V sobre un campo ordenado F es un cono (o a veces llamado cono lineal ) si para cada x en C y un escalar positivo α en F , el producto αx está en C. [1] Tenga en cuenta que algunos autores definen cono con el escalar α que se extiende sobre todos los escalares no negativos (en lugar de todos los escalares positivos, que no incluye 0). [2]
Un cono C es un cono convexo si αx + βy pertenece a C , para cualquier escalar positivo α , β , y cualquier x , y en C . [3] [4] Un cono C es convexo si y solo si C + C ⊆ C .
Este concepto es significativo para cualquier espacio vectorial que permita el concepto de escalar "positivo", como espacios sobre números racionales , algebraicos o (más comúnmente) reales . También tenga en cuenta que los escalares en la definición son positivos, lo que significa que el origen no tiene que pertenecer a C. Algunos autores usan una definición que asegura que el origen pertenece a C. [5] Debido a los parámetros de escala α y β , los conos tienen una extensión infinita y no están limitados.
Si C es un cono convexo, entonces para cualquier escalar positivo α y cualquier x en C el vector Se sigue que un cono convexo C es un caso especial de un cono lineal .
