Proceso de nacimiento

En la teoría de la probabilidad , un proceso de nacimiento o un proceso de nacimiento puro ^[1] es un caso especial de un proceso de Markov de tiempo continuo y una generalización de un proceso de Poisson . Define un proceso continuo que toma valores en los números naturales y solo puede aumentar en uno (un "nacimiento") o permanecer sin cambios. Este es un tipo de proceso de nacimiento-muerte sin muertes. La velocidad a la que ocurren los nacimientos está dada por una variable aleatoria exponencial cuyo parámetro depende solo del valor actual del proceso.

Un proceso de nacimiento con tasas de natalidad y valor inicial es un proceso mínimo continuo por la derecha, de manera que los tiempos entre llegadas son variables aleatorias exponenciales independientes con parámetro . ^[2]${\ Displaystyle (\ lambda _ {n}, n \ in \ mathbb {N})}$${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle (X_ {t}, t \ geq 0)}$${\ Displaystyle X_ {0} = k}$${\ Displaystyle T_ {i} = \ inf \ {t \ geq 0: X_ {t} = i + 1 \} - \ inf \ {t \ geq 0: X_ {t} = i \}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$

Un proceso de nacimiento con tasas y valor inicial es un proceso tal que:${\ Displaystyle (\ lambda _ {n}, n \ in \ mathbb {N})}$${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle (X_ {t}, t \ geq 0)}$

Estas condiciones aseguran que el proceso comience en , no sea decreciente y tenga nacimientos individuales independientes continuamente al ritmo , cuando el proceso tiene valor . ^[3]${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle \ lambda _ {n}}$${\ Displaystyle n}$

Un proceso de nacimiento con tasas de natalidad .${\ Displaystyle \ lambda _ {0}, \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, ...}$

Un proceso de Poisson es un caso especial de un proceso de nacimiento.

Un proceso de nacimiento simple, donde las tasas de natalidad son iguales al tamaño de la población actual.