El proceso de nacimiento-muerte (o proceso de nacimiento y muerte ) es un caso especial de proceso de Markov de tiempo continuo donde las transiciones de estado son de solo dos tipos: "nacimientos", que aumentan la variable de estado en uno y "muertes", que disminuyen el estado en uno. El nombre del modelo proviene de una aplicación común, el uso de dichos modelos para representar el tamaño actual de una población donde las transiciones son nacimientos y muertes literales. Los procesos de nacimiento-muerte tienen muchas aplicaciones en demografía , teoría de colas , ingeniería del desempeño , epidemiología , biología y otras áreas. Pueden utilizarse, por ejemplo, para estudiar la evolución debacterias , el número de personas con una enfermedad dentro de una población, o el número de clientes en fila en el supermercado.
Cuando ocurre un nacimiento, el proceso pasa del estado n al n + 1. Cuando ocurre una muerte, el proceso pasa del estado n al estado n - 1. El proceso está especificado por las tasas de natalidad y tasas de mortalidad .
Recurrencia y fugacidad
Para la recurrencia y la fugacidad en los procesos de Markov, consulte la Sección 5.3 de la cadena de Markov .
Condiciones de recurrencia y fugacidad
Samuel Karlin y James McGregor establecieron las condiciones para la recurrencia y la fugacidad . [1]
Un proceso de nacimiento y muerte es recurrente si y solo si
Un proceso de nacimiento y muerte es ergódico si y solo si
Un proceso de nacimiento y muerte es nulo-recurrente si y solo si
Mediante el uso de la prueba de Bertrand ampliada (consulte la Sección 4.1.4 de la prueba de relación ), las condiciones de recurrencia, fugacidad, ergodicidad y recurrencia nula se pueden derivar de una forma más explícita. [2]
Entonces, las condiciones para la recurrencia y la fugacidad de un proceso de nacimiento y muerte son las siguientes.
El proceso de nacimiento y muerte es transitorio si existen y tal que para todos
donde la suma vacía para se supone que es 0.
El proceso de nacimiento y muerte es recurrente si existen y tal que para todos
Solicitud
Considere una caminata aleatoria unidimensionalque se define de la siguiente manera. Dejar, y dónde toma valores , y la distribución de se define por las siguientes condiciones:
dónde satisfacer la condición .
La caminata aleatoria descrita aquí es un análogo de tiempo discreto del proceso de nacimiento y muerte (ver cadena de Markov ) con las tasas de natalidad
y las tasas de mortalidad
.
Entonces, la recurrencia o fugacidad de la caminata aleatoria se asocia con la recurrencia o fugacidad del proceso de nacimiento y muerte. [2]
La caminata aleatoria es transitoria si existe , y tal que para todos
donde la suma vacía para se supone que es cero.
El paseo aleatorio es recurrente si existe y tal que para todos
Solución estacionaria
Si un proceso de nacimiento y muerte es ergódico, entonces existen probabilidades de estado estable dónde es la probabilidad de que el proceso de nacimiento y muerte esté en estado en el momento El límite existe, independientemente de los valores iniciales. y se calcula por las relaciones:
Estas probabilidades limitantes se obtienen del sistema infinito de ecuaciones diferenciales para
y la condición inicial
A su vez, el último sistema de ecuaciones diferenciales se deriva del sistema de ecuaciones en diferencias que describe la dinámica del sistema en poco tiempo.. Durante este pequeño tiemposólo tres tipos de transiciones se consideran una muerte, un nacimiento, o ningún nacimiento ni muerte. La probabilidad de las dos primeras de estas transiciones tiene el orden de. Otras transiciones durante este pequeño intervalotales como más de un nacimiento , o más de una muerte , o al menos un nacimiento y al menos una muerte tienen probabilidades que son de orden menor que, y por lo tanto son insignificantes en derivaciones. Si el sistema está en el estado k , entonces la probabilidad de nacimiento durante un intervalo es , la probabilidad de muerte es , y la probabilidad de no nacimiento ni muerte es . Para un proceso de población, "nacimiento" es la transición hacia el aumento del tamaño de la población en 1, mientras que "muerte" es la transición hacia la disminución del tamaño de la población en 1.
Los procesos de nacimiento-muerte se encuentran en la filodinámica como un modelo generativo de filogenias, es decir, un árbol binario en el que los eventos de nacimiento corresponden a las ramas del árbol y los eventos de muerte a los nodos de las hojas [3] . En particular, se utilizan en filodinámica viral [4] para comprender el proceso de transmisión.
Uso en teoría de colas
En la teoría de las colas, el proceso de nacimiento-muerte es el ejemplo más fundamental de un modelo de colas , el M / M / C / K // Cola FIFO (en notación completa de Kendall ). Esta es una cola con llegadas de Poisson , extraídas de una población infinita, y servidores C con tiempos de servicio distribuidos exponencialmente con K lugares en la cola. A pesar de la suposición de una población infinita, este modelo es un buen modelo para varios sistemas de telecomunicaciones.
Cola M / M / 1
El M / M / 1 es una cola de servidor único con un tamaño de búfer infinito. En un entorno no aleatorio, el proceso de nacimiento-muerte en los modelos de colas tienden a ser promedios a largo plazo, por lo que la tasa promedio de llegada se da como y el tiempo medio de servicio como . El proceso de nacimiento y muerte es una cola M / M / 1 cuando,
Proceso de nacimiento puro asociado con una cola M / M / 1
Proceso de nacimiento puro con es un caso particular del proceso de puesta en cola M / M / 1. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales :
Bajo la condición inicial y , la solución del sistema es
Es decir, un proceso de Poisson (homogéneo) es un proceso de nacimiento puro.
Cola M / M / c
El M / M / C es una cola de varios servidores con servidores C y un búfer infinito. Se caracteriza por los siguientes parámetros de nacimiento y muerte:
y
con
El sistema de ecuaciones diferenciales en este caso tiene la forma:
Proceso de muerte pura asociado con una cola M / M / C
Proceso de muerte pura con es un caso particular del proceso de puesta en cola M / M / C. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales :
Bajo la condición inicial y obtenemos la solución
que presenta la versión de la distribución binomial en función del parámetro de tiempo(ver Proceso binomial ).
Cola M / M / 1 / K
La cola M / M / 1 / K es una cola de servidor único con un tampón de tamaño K . Esta cola tiene aplicaciones en telecomunicaciones, así como en biología cuando una población tiene un límite de capacidad. En telecomunicaciones, usamos nuevamente los parámetros de la cola M / M / 1 con,
En biología, particularmente en el crecimiento de bacterias, cuando la población es cero, no hay capacidad para crecer, por lo que,
Además, si la capacidad representa un límite donde el individuo muere por sobrepoblación,
Las ecuaciones diferenciales para la probabilidad de que el sistema esté en el estado k en el tiempo t son
Equilibrio
Se dice que una cola está en equilibrio si las probabilidades de estado estacionarioexiste. La condición para la existencia de estas probabilidades de estado estable en el caso de la cola M / M / 1 esy en el caso de la cola M / M / C es. El parámetrogeneralmente se denomina parámetro de carga o parámetro de utilización . A veces también se le llama intensidad de tráfico .
Usando la cola M / M / 1 como ejemplo, las ecuaciones de estado estacionario son
Esto se puede reducir a
Entonces, teniendo en cuenta que , obtenemos
Ver también
Unidad de Erlang
Teoría de las colas
Modelos de colas
Proceso de cuasi nacimiento-muerte
Proceso de Moran
Notas
^ Karlin, Samuel ; McGregor, James (1957). "La clasificación de los procesos de nacimiento y muerte" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 86 (2): 366–400.
^ a bAbramov, Vyacheslav M. (2020). "Ampliación de la prueba de Bertrand-De Morgan y su aplicación" . The American Mathematical Monthly . 127 (5): 444--448. arXiv : 1901.05843 . doi : 10.1080 / 00029890.2020.1722551 .
^Stadler T (diciembre de 2010). "Muestreo a través del tiempo en árboles de nacimiento-muerte". Revista de Biología Teórica . 267 (3): 396–404. doi : 10.1016 / j.jtbi.2010.09.010 . PMID 20851708 .
^Kühnert D, Wu CH, Drummond AJ (diciembre de 2011). "Modelado filogenético y epidémico de enfermedades infecciosas de rápida evolución" . Infección, Genética y Evolución . 11 (8): 1825–41. doi : 10.1016 / j.meegid.2011.08.005 . PMC 7106223 . PMID 21906695 .
Referencias
Latouche, G .; Ramaswami, V. (1999). "Procesos de Cuasi-Nacimiento y Muerte". Introducción a los métodos analíticos matriciales en el modelado estocástico (1ª ed.). ASA SIAM. ISBN 0-89871-425-7.
Nowak, MA (2006). Dinámica evolutiva: exploración de las ecuaciones de la vida . Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 0-674-02338-2.
Virtamo, J. "Procesos nacimiento-muerte" (PDF) . 38.3143 Teoría de las colas . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .