Coeficiente binomial gaussiano

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En matemáticas , los coeficientes binomiales gaussianos (también llamados coeficientes gaussianos , polinomios gaussianos o q -coeficientes binomiales ) son q -análogos de los coeficientes binomiales . El coeficiente binomial gaussiano, escrito como o , es un polinomio en q con coeficientes enteros, cuyo valor cuando q se establece en una potencia prima cuenta el número de subespacios de dimensión k en un espacio vectorial de dimensión n sobre un campo finito con q elementos .${\displaystyle {\binom{n}{k}}_{q}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}}$

donde m y r son números enteros no negativos. Si r > m , esto se evalúa como 0. Para r = 0 , el valor es 1 ya que tanto el numerador como el denominador son productos vacíos .

Aunque la fórmula al principio parece ser una función racional , en realidad es un polinomio, porque la división es exacta en Z [ q ]

Todos los factores en numerador y denominador son divisibles por 1 − q , y el cociente es el número q :

En términos del factorial q , la fórmula se puede establecer como${\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q}}$

Sustituyendo q = 1 da el coeficiente binomial ordinario .${\displaystyle {\tbinom{m}{r}}_{q}}$${\displaystyle {\tbinom{m}{r}}}$

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