Cuantificador (lógica)

Para otros usos, consulte Cuantificador (desambiguación) .

En los lenguajes naturales , un cuantificador convierte una oración sobre algo que tiene alguna propiedad en una oración sobre el número (cantidad) de cosas que tienen la propiedad. Ejemplos de cuantificadores en inglés son "all", "some", "many", "few", "most" y "no"; ^[1] ejemplos de oraciones cuantificadas son "todas las personas son mortales", "algunas personas son mortales" y "ninguna gente es mortal", se consideran verdaderas, verdaderas y falsas, respectivamente.

En lógica matemática , en particular en lógica de primer orden , un cuantificador logra una tarea similar, operando con una fórmula matemática en lugar de una oración en inglés.

Más precisamente, un cuantificador especifica la cantidad de especímenes en el dominio del discurso que satisfacen una fórmula abierta . Los dos cuantificadores formales más comunes son " para cada uno " ( cuantificador universal , tradicionalmente simbolizado por "∀" ) y " existe algo " ( cuantificador existencial , "∃" ). ^{[2] [4]} Por ejemplo, en aritmética , los cuantificadores permiten decir que los números naturales continúan para siempre, escribiendo que "para cada número natural n ,existe un número natural m que es mayor quen "; esto se puede escribir formalmente como" ∀ n ∈ℕ. ∃ m ∈ℕ. m > n " ^[5] Los ejemplos anteriores inglés podría ser formalizada como" ∀ p ∈ P . m ( p ) " ^[6] " ∃ p ∈ P . m ( p ) "y" ¬ ∃ p ∈ P . m ( p ) ", ^[7] respectivamente, cuando P denota el conjunto de todas las personas, y m ( p) denota " p es mortal".

Una fórmula que comienza con un cuantificador se llama fórmula cuantificada . Un cuantificador formal requiere una variable, que se dice que está limitada por ella, y una subfórmula que especifica una propiedad de esa variable.

Los cuantificadores formales se han generalizado a partir del trabajo de Mostowski y Lindström .

Relaciones con la conjunción lógica y la disyunción

Para un dominio finito del discurso D = {a ₁ , ... a _n }, el cuantificador universal es equivalente a una conjunción lógica de proposiciones con términos singulares a _i (que tienen la forma Pa _i para predicados monádicos ).

El cuantificador existencial es equivalente a una disyunción lógica de proposiciones que tienen la misma estructura que antes. Para dominios infinitos del discurso, las equivalencias son similares.

Dominio infinito del discurso

Considere la siguiente declaración:

1 · 2 = 1 + 1, y 2 · 2 = 2 + 2, y 3 · 2 = 3 + 3, ..., y 100 · 2 = 100 + 100, y ..., etc.

Esto tiene la apariencia de una conjunción infinita de proposiciones. Desde el punto de vista de los lenguajes formales , esto es un problema inmediato, ya que se espera que las reglas de sintaxis generen palabras finitas .

El ejemplo anterior tiene la suerte de que existe un procedimiento para generar todos los conjuntos. Sin embargo, si se hiciera una afirmación sobre cada número irracional , no habría forma de enumerar todos los conjuntos, ya que los irracionales no pueden enumerarse. Una formulación sucinta y equivalente que evita estos problemas utiliza la cuantificación universal :

Para cada número natural n , n · 2 = n + n .

Un análisis similar se aplica a la disyunción ,

1 es igual a 5 + 5, o 2 es igual a 5 + 5, o 3 es igual a 5 + 5, ..., o 100 es igual a 5 + 5, o ..., etc.

que puede reformularse utilizando cuantificación existencial :

Para algún número natural n , n es igual a 5 + 5.

Enfoques algebraicos para la cuantificación

Es posible idear álgebras abstractas cuyos modelos incluyan lenguajes formales con cuantificación, pero el progreso ha sido lento ^{[ aclaración necesaria ]} y el interés en tal álgebra ha sido limitado. Hasta la fecha se han ideado tres enfoques:

• Álgebra de relaciones , inventada por Augustus De Morgan y desarrollada por Charles Sanders Peirce , Ernst Schröder , Alfred Tarski y los estudiantes de Tarski. El álgebra de relaciones no puede representar ninguna fórmula con cuantificadores anidados a más de tres de profundidad. Sorprendentemente, los modelos de álgebra de relaciones incluyen la teoría axiomática de conjuntos ZFC y la aritmética de Peano ;
• Álgebra cilíndrica , ideada por Alfred Tarski , Leon Henkin y otros;
• El álgebra políada de Paul Halmos .

Notación

Los dos cuantificadores más comunes son el cuantificador universal y el cuantificador existencial. El símbolo tradicional para el cuantificador universal es " ∀ ", una letra " A " rotada , que significa "para todos" o "todos". El símbolo correspondiente para el cuantificador existencial es " ∃ ", una letra " E " rotada , que significa "existe" o "existe". ^{[2] [8] [9]}

Un ejemplo de traducción de una declaración cuantificada en un lenguaje natural como el inglés sería el siguiente. Dada la afirmación, "A cada uno de los amigos de Peter le gusta bailar o le gusta ir a la playa (o ambas cosas)", los aspectos clave se pueden identificar y reescribir utilizando símbolos, incluidos cuantificadores. Entonces, sea X el conjunto de todos los amigos de Peter, P ( x ) el predicado " x le gusta bailar" y Q ( x ) el predicado " x le gusta ir a la playa". Entonces la oración anterior se puede escribir en notación formal como , que se lee, "para cada x que es un miembro de X , P${\displaystyle \forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)}$se aplica a x o Q se aplica a x ".

Algunas otras expresiones cuantificadas se construyen de la siguiente manera,

${\displaystyle \exists {x}\,P}$^[10]     ${\displaystyle \forall {x}\,P}$

para una fórmula P . Estas dos expresiones (usando las definiciones anteriores) se leen como "existe un amigo de Peter al que le gusta bailar" y "a todos los amigos de Peter les gusta bailar", respectivamente. Las notaciones variantes incluyen, para el conjunto X y los miembros del conjunto x :

${\displaystyle \bigvee _{x}P}$     ${\displaystyle (\exists {x})P}$     ${\displaystyle (\exists x\ .\ P)}$     ${\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}$     ${\displaystyle (\exists x:P)}$     ${\displaystyle \exists {x}(P)}$^[11]     ${\displaystyle \exists _{x}\,P}$     ${\displaystyle \exists {x}{,}\,P}$     ${\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}$     ${\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}$

Todas estas variaciones también se aplican a la cuantificación universal. Otras variaciones para el cuantificador universal son

${\displaystyle \bigwedge _{x}P}$     ${\displaystyle \bigvee xP}$^{[12]     [ cita requerida ]}${\displaystyle (x)\,P}$

Algunas versiones de la notación mencionan explícitamente el rango de cuantificación. Siempre se debe especificar el rango de cuantificación; para una teoría matemática dada, esto se puede hacer de varias maneras:

• Suponga un dominio fijo de discurso para cada cuantificación, como se hace en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ,
• Arregle varios dominios del discurso de antemano y requiera que cada variable tenga un dominio declarado, que es el tipo de esa variable. Esto es análogo a la situación en los lenguajes de programación de computadoras de tipo estático , donde las variables tienen tipos declarados.
• Mencione explícitamente el rango de cuantificación, quizás usando un símbolo para el conjunto de todos los objetos en ese dominio (o el tipo de objetos en ese dominio).

Se puede utilizar cualquier variable como variable cuantificada en lugar de cualquier otra, bajo ciertas restricciones en las que no se produce la captura de variables . Incluso si la notación usa variables con tipo, se pueden usar variables de ese tipo.

De manera informal o en lenguaje natural, la "∀ x " o la "∃ x " pueden aparecer después o en el medio de P ( x ). Sin embargo, formalmente, la frase que introduce la variable ficticia se coloca al frente.

Las fórmulas matemáticas mezclan expresiones simbólicas para cuantificadores con cuantificadores de lenguaje natural como,

Para cada número natural x , ...

Existe una x tal que ...

Para al menos una x, ....

Las palabras clave para la cuantificación de la unicidad incluyen:

Para exactamente un número natural x , ...

Hay una y solo una x tal que ...

Además, x puede reemplazarse por un pronombre . Por ejemplo,

Para cada número natural, su producto con 2 es igual a su suma consigo mismo.

Algún número natural es primo.

Orden de cuantificadores (anidamiento)

El orden de los cuantificadores es fundamental para el significado, como lo ilustran las siguientes dos proposiciones:

Para cada número natural n , existe un número natural s tal que s = n ² .

Esto es claramente cierto; simplemente afirma que todo número natural tiene un cuadrado. El significado de la afirmación en la que se invierte el orden de los cuantificadores es diferente:

Existe un número natural s tal que para cada número natural n , s = n ² .

Esto es claramente falso; afirma que hay un solo número natural s que es el cuadrado de todo número natural. Esto se debe a que la sintaxis indica que ninguna variable no puede ser una función de las variables introducidas posteriormente.

Un ejemplo menos trivial del análisis matemático son los conceptos de continuidad uniforme y puntual , cuyas definiciones difieren sólo por un intercambio en las posiciones de dos cuantificadores. Una función f de R a R se llama

• Puntual continuo si ${\textstyle \forall \varepsilon >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\exists \delta >0\;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$
• Uniformemente continuo si ${\textstyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$

En el primer caso, el valor particular elegido para δ puede ser una función tanto de ε como de x , las variables que lo preceden. En el último caso, δ puede ser una función solo de ε (es decir, debe elegirse independientemente de x ). Por ejemplo, f ( x ) = x ² satisface la continuidad puntual, pero no uniforme. Por el contrario, el intercambio de los dos cuantificadores universales iniciales en la definición de continuidad puntual no cambia el significado.

La profundidad máxima de anidación de cuantificadores en una fórmula se denomina " rango de cuantificador ".

Expresiones equivalentes

Si D es un dominio de x y P ( x ) es un predicado dependiente de la variable de objeto x , entonces la proposición universal se puede expresar como

${\displaystyle \forall x\!\in \!D\;P(x).}$

Esta notación se conoce como cuantificación restringida, relativizada o acotada . De manera equivalente, se puede escribir

${\displaystyle \forall x\;(x\!\in \!D\to P(x)).}$

La proposición existencial se puede expresar con cuantificación acotada como

${\displaystyle \exists x\!\in \!D\;P(x),}$

o equivalente

${\displaystyle \exists x\;(x\!\in \!\!D\land P(x)).}$

Junto con la negación, solo se necesita uno de los cuantificadores universal o existencial para realizar ambas tareas:

${\displaystyle \neg (\forall x\!\in \!D\;P(x))\equiv \exists x\!\in \!D\;\neg P(x),}$

lo que muestra que para refutar una proposición "para todo x ", no se necesita más que encontrar una x para la cual el predicado es falso. Similitud,

${\displaystyle \neg (\exists x\!\in \!D\;P(x))\equiv \forall x\!\in \!D\;\neg P(x),}$

para refutar una proposición de " existe una x ", es necesario demostrar que el predicado es falso para todo x .

Rango de cuantificación

Cada cuantificación involucra una variable específica y un dominio de discurso o rango de cuantificación de esa variable. El rango de cuantificación especifica el conjunto de valores que toma la variable. En los ejemplos anteriores, el rango de cuantificación es el conjunto de números naturales. La especificación del rango de cuantificación nos permite expresar la diferencia entre, digamos, afirmar que un predicado es válido para algún número natural o para algún número real . Las convenciones expositivas a menudo reservan algunos nombres de variables como " n " para números naturales y " x"para números reales, aunque depender exclusivamente de convenciones de nomenclatura no puede funcionar en general, ya que los rangos de variables pueden cambiar en el curso de un argumento matemático.

Una forma más natural de restringir el dominio del discurso utiliza la cuantificación cautelosa . Por ejemplo, la cuantificación protegida

Para algún número natural n , n es par y n es primo

medio

Para algunos números pares n , n es primo.

En algunas teorías matemáticas , se asume un solo dominio de discurso fijado de antemano. Por ejemplo, en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , las variables abarcan todos los conjuntos. En este caso, se pueden usar cuantificadores protegidos para imitar un rango más pequeño de cuantificación. Así, en el ejemplo anterior, para expresar

Para todo número natural n , n · 2 = n + n

en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, se escribiría

Para cada n , si n pertenece a N , entonces n · 2 = n + n ,

donde N es el conjunto de todos los números naturales.

Semántica formal

La semántica matemática es la aplicación de las matemáticas para estudiar el significado de expresiones en un lenguaje formal. Tiene tres elementos: una especificación matemática de una clase de objetos a través de la sintaxis , una especificación matemática de varios dominios semánticos y la relación entre los dos, que generalmente se expresa como una función de los objetos sintácticos a los semánticos. Este artículo solo aborda la cuestión de cómo se interpretan los elementos cuantificadores. La sintaxis de una fórmula puede estar dada por un árbol de sintaxis. Un cuantificador tiene un alcance , y la ocurrencia de una variable x es gratuita si no está dentro del alcance de una cuantificación para esa variable. Así en

${\displaystyle \forall x(\exists yB(x,y))\vee C(y,x)}$

la ocurrencia de ambos x y y en C ( y , x ) es libre, mientras que la ocurrencia de x y y en B ( y , x ) se une (es decir, no libre).

Árbol de sintaxis de la fórmula , que ilustra el alcance y la captura de variables. Las apariciones de variables limitadas y libres están coloreadas en rojo y verde, respectivamente.${\displaystyle \forall x(\exists yB(x,y))\vee C(y,x)}$

Una interpretación de primer orden cálculo de predicados asume como dado un dominio de individuos X . Una fórmula A cuya libre variables son x ₁ , ..., x _n se interpreta como un boolean función -valued F ( v ₁ , ..., v _n ) de n argumentos, donde cada argumento rangos más el dominio X . Valor booleano significa que la función asume uno de los valores T (interpretado como verdad) o F (interpretado como falsedad). La interpretación de la fórmula

${\displaystyle \forall x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

es la función G de n -1 argumentos tal que G ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = T si y solo si F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = T para cada w en X . Si F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = F para al menos un valor de w , entonces G ( v₁ , ..., v _{n -1} ) = F . Del mismo modo, la interpretación de la fórmula

${\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

es la función H de n -1 argumentos tal que H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = T si y solo si F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = T para al menos una w y H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = F en caso contrario.

La semántica para la cuantificación de la unicidad requiere un cálculo de predicados de primer orden con igualdad. Esto significa que hay un predicado distinguido de dos posiciones "="; la semántica también se modifica en consecuencia para que "=" siempre se interpreta como la relación de igualdad de dos lugar el X . La interpretación de

${\displaystyle \exists !x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

entonces es la función de n -1 argumentos, que es la lógica y de las interpretaciones de

${\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \forall y,z\left\{A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},y)\wedge A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},z)\implies y=z\right\}.}$

Cada tipo de cuantificación define un operador de cierre correspondiente en el conjunto de fórmulas, agregando, para cada variable libre x , un cuantificador para unir x . ^[13] Por ejemplo, el cierre existencial de la fórmula abierta n > 2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ es la fórmula cerrada ∃ n ∃ x ∃ y ∃ z ( n > 2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ); la última fórmula, cuando se interpreta sobre los números naturales, se sabe que es falsa por el último teorema de Fermat . Como otro ejemplo, los axiomas de ecuaciones, como x + y = y + x , generalmente están destinados a denotar su cierre universal , como ∀ x ∀ y ( x + y = y + x ) para expresar conmutatividad .

Cuantificadores de grado paucal, multal y otros

Ver también: teorema de Fubini y medible

Ninguno de los cuantificadores discutidos anteriormente se aplica a una cuantificación como

Hay muchos números enteros n <100, de modo que n es divisible entre 2, 3 o 5.

Un posible mecanismo de interpretación se puede obtener de la siguiente manera: Supongamos que además de un dominio semántico X , hemos dado una medida de probabilidad P definida en X y números de corte 0 < a ≤ b ≤ 1. Si A es una fórmula con variables libres x ₁ , ..., x _n cuya interpretación es la función F de las variables v ₁ , ..., v _n entonces la interpretación de

${\displaystyle \exists ^{\mathrm {many} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$

es la función de v ₁ , ..., v _{n -1} que es T si y solo si

${\displaystyle \operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\geq b}$

y F de lo contrario. Del mismo modo, la interpretación de

${\displaystyle \exists ^{\mathrm {few} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$

es la función de v ₁ , ..., v _{n -1} que es F si y solo si

${\displaystyle 0<\operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\leq a}$

y T de lo contrario. ^{[ cita requerida ]}

Otros cuantificadores

Se han propuesto algunos otros cuantificadores a lo largo del tiempo. En particular, el cuantificador de la solución, ^{[14] : 28} señaló § ( signo de sección ) y leyó "esos". Por ejemplo,

${\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\{0,1,2\}}$

se lee "aquellos n en N tales que n ² ≤ 4 están en {0,1,2}". La misma construcción se puede expresar en notación de constructor de conjuntos como

${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :n^{2}\leq 4\}=\{0,1,2\}.}$

A diferencia de los otros cuantificadores, § produce un conjunto en lugar de una fórmula. ^[15]

Algunos otros cuantificadores que se usan a veces en matemáticas incluyen:

• Hay infinitos elementos tales que ...
• Para todos, excepto para un número finito de elementos ... (a veces expresado como "para casi todos los elementos ...").
• Son innumerables los elementos tales que ...
• Para todos, pero contablemente muchos elementos ...
• Para todos los elementos de un conjunto de medidas positivas ...
• Para todos los elementos excepto los de un conjunto de medida cero ...

Historia

La lógica de términos , también llamada lógica aristotélica, trata la cuantificación de una manera más cercana al lenguaje natural y también menos adecuada para el análisis formal. La lógica del término trataba Todo , Algo y No en el siglo IV a. C., en un relato que también toca las modalidades aléticas .

En 1827, George Bentham publicó su Esquema de un nuevo sistema de lógica, con un examen crítico de los Elementos de lógica del Dr. Whately , que describe el principio del cuantificador, pero el libro no tuvo una amplia circulación. ^[dieciséis]

Augustus De Morgan (1806-1871) fue el primero en utilizar "cuantificador" en el sentido moderno.

William Hamilton afirmó haber acuñado los términos "cuantificar" y "cuantificación", muy probablemente en sus conferencias de Edimburgo c. 1840. Augustus De Morgan confirmó esto en 1847, pero el uso moderno comenzó con De Morgan en 1862, donde hace afirmaciones como "Debemos tomar tanto a todos como a algunos-no-todos como cuantificadores". ^[17]

Gottlob Frege , en su Begriffsschrift de 1879 , fue el primero en emplear un cuantificador para vincular una variable que abarca un dominio del discurso y aparece en predicados . Él cuantificaría universalmente una variable (o relación) escribiendo la variable sobre un hoyuelo en una línea que de otro modo sería recta que aparece en sus fórmulas diagramáticas. Frege no ideó una notación explícita para la cuantificación existencial, sino que empleó su equivalente de ~ ∀ x ~, o contraposición . El tratamiento que hizo Frege de la cuantificación pasó en gran parte desapercibido hasta los Principios de las matemáticas de 1903 de Bertrand Russell .

En un trabajo que culminó en Peirce (1885), Charles Sanders Peirce y su alumno Oscar Howard Mitchell inventaron independientemente cuantificadores universales y existenciales y variables ligadas . Peirce y Mitchell escribieron Π _x y Σ _x donde ahora escribimos ∀ x y ∃ x . La notación de Peirce se puede encontrar en los escritos de Ernst Schröder , Leopold Loewenheim , Thoralf Skolem y los lógicos polacos en la década de 1950. En particular, es la notación del histórico artículo de 1930 de Kurt Gödel sobre la integridad de la lógica de primer ordeny artículo de 1931 sobre la incompletitud de la aritmética de Peano .

El enfoque de Peirce a la cuantificación también influyó en William Ernest Johnson y Giuseppe Peano , quienes inventaron otra notación, a saber ( x ) para la cuantificación universal de x y (en 1897) ∃ x para la cuantificación existencial de x . Por lo tanto, durante décadas, la notación canónica en filosofía y lógica matemática fue ( x ) P para expresar "todos los individuos en el dominio del discurso tienen la propiedad P " y "(∃ x ) P " porque "existe al menos un individuo en el dominio del discurso que tiene la propiedad P. "Peano, que era mucho más conocido que Peirce, de hecho difundió el pensamiento de este último por toda Europa. La notación de Peano fue adoptada por los Principia Mathematica de Whitehead y Russell , Quine y Alonzo Church . En 1935, Gentzen introdujo el símbolo ∀, por analogía con el símbolo ∃ de Peano. ∀ no se convirtió en canónico hasta la década de 1960.

Hacia 1895, Peirce comenzó a desarrollar sus gráficos existenciales , cuyas variables pueden verse tácitamente cuantificadas. Si la instancia más superficial de una variable es par o impar determina si la cuantificación de esa variable es universal o existencial. (La superficialidad es lo contrario de la profundidad, que está determinada por el anidamiento de negaciones.) La lógica gráfica de Peirce ha atraído cierta atención en los últimos años por aquellos que investigan el razonamiento heterogéneo y la inferencia diagramática .

Ver también

• Generalidad absoluta
• Casi todos
• Cuantificador de ramificación
• Cuantificador condicional
• Contando cuantificación
• Eventualmente (matemáticas)
• Cuantificador generalizado : una propiedad de orden superior utilizada como semántica estándar de frases nominales cuantificadas
• Cuantificador de Lindström : un cuantificador poliádico generalizado
• Eliminación del cuantificador
• Cambio de cuantificador

Referencias

1. Consulte Cuantificador (lingüística) para obtener más detalles.
2. "Lista completa de símbolos lógicos" . Bóveda de matemáticas . 2020-04-06 . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
3. Para una excepción, véase, por ejemplo, Hans Hermes (1973). Introducción a la lógica matemática . Hochschultext (Springer-Verlag). Londres: Springer. ISBN 3540058192. ISSN  1431-4657 . Aquí: Observación II.1.5
4. Corresponden a los cuantificadores ingleses "all" y "some", respectivamente. No se pueden formalizar ni "muchos" ni "pocos", debido a su vago significado. "Most" es difícil de formalizar cuando se habla de conjuntos infinitos . "No" puede expresarse como lo opuesto a "algunos". Esto último podría expresarse, a su vez, utilizando "todos", pero esto rara vez se hace. ^[3]
5. Se puede probar que esta fórmula es cierta, ya que, dada una n arbitraria, elegir m eg como el sucesor de n servirá.
6. Literalmente: "Para cada miembro p del conjunto de todas las personas, p es mortal".
7. Literalmente: "Es no cierto que existe algún miembro de p del conjunto de todas las personas de tal manera que p es mortal."
8. "Predicados y cuantificadores" . www.csm.ornl.gov . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
9. "1.2 Cuantificadores" . www.whitman.edu . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
10. KR Apt (1990). "Programación lógica". En Jan van Leeuwen (ed.). Modelos formales y semántica . Manual de Informática Teórica. B . Elsevier. págs. 493–574. ISBN 0-444-88074-7. Aquí: p.497
11. John E. Hopcroft y Jeffrey D. Ullman (1979). Introducción a la teoría, los lenguajes y la computación de los autómatas . Lectura / MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02988-X. Aquí: pp344
12. Hans Hermes (1973). Introducción a la lógica matemática . Hochschultext (Springer-Verlag). Londres: Springer. ISBN 3540058192. ISSN  1431-4657 .Aquí: Def. II.1.5
13. en general, para un cuantificador Q , el cierre tiene sentido solo si el orden decuantificaciónde Q no importa, es decir, si Q x Q y p ( x , y ) es equivalente a Q y Q x p ( x , y ). Esto se satisface para Q ∈ {∀, ∃}, cf. # Orden de cuantificadores (anidamiento) arriba.
14. Hehner, Eric CR , 2004, Teoría práctica de la programación , 2ª edición, p. 28
15. Hehner (2004) utiliza el término "cuantificador" en un sentido muy general, incluyendo también, por ejemplo, la suma .
16. George Bentham, Esquema de un nuevo sistema de lógica: con un examen crítico de los Elementos de lógica del Dr. Whately (1827); Thoemmes; Edición facsímil (1990) ISBN 1-85506-029-9 
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Bibliografía

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Enlaces externos

Busque cuantificación en Wiktionary, el diccionario gratuito.

• "Quantifier" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• " " Para todos "y" existen "frases, oraciones y expresiones de actualidad" . Archivado desde el original el 1 de marzo de 2000.. De la Facultad de Ciencias Naturales de la Universidad de Hawaii en Manoa .
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  • Shapiro, Stewart (2000). "Lógica clásica" (cubre la sintaxis, la teoría de modelos y la metateoría para la lógica de primer orden en el estilo de deducción natural).
  • Westerståhl, Dag (2005). "Cuantificadores generalizados"
• Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). "Cuantificadores"