Las integrales de alta dimensión en cientos o miles de variables ocurren comúnmente en finanzas. Estas integrales deben calcularse numéricamente dentro de un umbral. Si la integral es de dimensión entonces, en el peor de los casos, donde uno tiene una garantía de error como máximo , la complejidad computacional es típicamente de orden . Es decir, el problema sufre la maldición de la dimensionalidad . En 1977 P. Boyle, de la Universidad de Waterloo, propuso utilizar Monte Carlo (MC) para evaluar opciones. [1] A principios de 1992, JF Traub , de la Universidad de Columbia, y un estudiante de posgrado en ese momento, S. Paskov, utilizaron cuasi-Monte Carlo (QMC) para fijar el precio de una obligación hipotecaria garantizada con los parámetros especificados por Goldman Sachs. Aunque los principales expertos del mundo creían que QMC no debería usarse para la integración de alta dimensión, Paskov y Traub descubrieron que QMC vencía a MC de uno a tres órdenes de magnitud y también disfrutaba de otros atributos deseables. Sus resultados se publicaron por primera vez [2]en 1995. Hoy en día, QMC se utiliza ampliamente en el sector financiero para valorar derivados financieros; vea la lista de libros a continuación .
QMC no es una panacea para todas las integrales de alta dimensión. Se han propuesto varias explicaciones de por qué QMC es tan bueno para los derivados financieros. Éste sigue siendo un campo de investigación muy fructífero.
Métodos de Montecarlo y cuasi-Montecarlo
Las integrales en cientos o miles de variables son comunes en las finanzas computacionales . Estos deben aproximarse numéricamente dentro de un umbral de error. Es bien sabido que si el peor de los casos, la garantía de error como máximo se requiere entonces la complejidad computacional de la integración puede ser exponencial en , la dimensión del integrando; Ver [3] Cap. 3 para obtener más detalles. Para romper esta maldición de la dimensionalidad se puede utilizar el método de Monte Carlo (MC) definido por
donde apunta la evaluación son elegidos al azar. Es bien sabido que el error esperado de Montecarlo es de orden. Por lo tanto, el costo del algoritmo que tiene error es de orden rompiendo la maldición de la dimensionalidad.
Por supuesto, en la práctica computacional se utilizan puntos pseudoaleatorios. La Figura 1 muestra la distribución de 500 puntos pseudoaleatorios en el cuadrado unitario.
Tenga en cuenta que hay regiones donde no hay puntos y otras regiones donde hay grupos de puntos. Sería deseable muestrear el integrando en puntos distribuidos uniformemente. Una cuadrícula rectangular sería uniforme, pero incluso si solo hubiera 2 puntos de cuadrícula en cada dirección cartesiana, habríapuntos. Por lo tanto, el desiderátum debe ser el menor número posible de puntos elegidos de la manera más uniforme posible.
Resulta que hay una parte bien desarrollada de la teoría de números que se ocupa exactamente de este desiderátum. La discrepancia es una medida de desviación de la uniformidad, por lo que lo que uno quiere son secuencias de baja discrepancia (LDS). [4] Se han creado numerosos LDS con el nombre de sus inventores, p. Ej.
- Halton
- Hammersley
- Sobol
- Faure
- Niederreiter
La Figura 2. muestra la distribución de 500 puntos LDS.
El método cuasi-Monte Carlo (QMC) está definido por
donde el pertenecen a un SUD. La terminología estándar cuasi-Monte Carlo es algo desafortunada ya que MC es un método aleatorio mientras que QMC es puramente determinista.
Es deseable la distribución uniforme de LDS. Pero el peor de los casos de error de QMC es de orden
dónde es el número de puntos muestrales. Consulte [4] para conocer la teoría de LDS y referencias a la literatura. La tasa de convergencia de LDS puede contrastarse con la tasa esperada de convergencia de CM que es. Para pequeña la tasa de convergencia de QMC es más rápida que MC pero para grande el factor es devastador. Por ejemplo, si, entonces incluso con el error QMC es proporcional a . Por lo tanto, los principales expertos del mundo creían ampliamente que QMC no debería usarse para la integración de alta dimensión. Por ejemplo, en 1992 Bratley, Fox y Niederreiter [5] realizaron pruebas exhaustivas sobre ciertos problemas matemáticos. Concluyen "en problemas de alta dimensión (digamos), QMC parece no ofrecer ninguna ventaja práctica sobre MC ". En 1993, Rensburg y Torrie [6] compararon QMC con MC para la estimación numérica de integrales de alta dimensión que ocurren en el cálculo de coeficientes viriales para el fluido de esfera dura. Concluyen QMC es más eficaz que MC solo si. Como veremos, las pruebas sobre integrales de 360 dimensiones que surgen de una obligación hipotecaria garantizada (CMO) conducen a conclusiones muy diferentes.
El artículo de Woźniakowski de 1991 [7] que muestra la conexión entre la complejidad media de la integración de casos y QMC dio lugar a un nuevo interés en QMC. El resultado de Woźniakowski recibió una cobertura considerable en la prensa científica [8] . [9] A principios de 1992, IT Vanderhoof, de la Universidad de Nueva York, se dio cuenta del resultado de Woźniakowski y le dio al colega de Woźniakowski, JF Traub , de la Universidad de Columbia, un CMO con parámetros establecidos por Goldman Sachs. Este CMO tenía 10 tramos, cada uno de los cuales requería el cálculo de una integral de 360 dimensiones. Traub preguntó a un Ph.D. estudiante, Spassimir Paskov, para comparar QMC con MC para el CMO. En 1992, Paskov construyó un sistema de software llamado FinDer y realizó pruebas exhaustivas. Para sorpresa e incredulidad inicial del grupo de investigación de Columbia, Paskov informó que QMC siempre fue superior a MC en varias formas. Los detalles se dan a continuación. Paskov y Traub presentaron los resultados preliminares a varias firmas de Wall Street en el otoño de 1993 y la primavera de 1994. Inicialmente, las firmas se mostraron escépticas ante la afirmación de que QMC era superior a MC en la fijación de precios de derivados financieros. Un artículo de enero de 1994 en Scientific American por Traub y Woźniakowski [9] discutió las cuestiones teóricas e informó que "los resultados preliminares obtenidos al probar ciertos problemas financieros sugieren la superioridad de los métodos deterministas en la práctica". En el otoño de 1994, Paskov escribió un Informe de Ciencias de la Computación de la Universidad de Columbia que apareció en una forma ligeramente modificada en 1997. [10]
En el otoño de 1995, Paskov y Traub publicaron un artículo en el "Journal of Portfolio Management". [2] Compararon el método MC y dos métodos QMC. Los dos métodos deterministas utilizaron puntos de Sobol y Halton. Dado que posteriormente se crearon mejores LDS, no se hará ninguna comparación entre las secuencias de Sobol y Halton. Los experimentos sacaron las siguientes conclusiones con respecto al desempeño de MC y QMC en la OCM de 10 tramos:
- Los métodos QMC convergen significativamente más rápido que MC
- MC es sensible a la semilla inicial
- La convergencia de QMC es más suave que la convergencia de MC. Esto facilita la terminación automática para QMC.
En resumen, QMC supera a MC en CMO en precisión, nivel de confianza y velocidad.
Este documento fue seguido por informes sobre pruebas de varios investigadores que también llevaron a la conclusión de que el QMC es superior al MC para una variedad de problemas financieros de alta dimensión. Esto incluye artículos de Caflisch y Morokoff (1996), [11] Joy, Boyle, Tan (1996), [12] Ninomiya y Tezuka (1996), [13] Papageorgiou y Traub (1996), [14] Ackworth, Broadie y Glasserman (1997), [15] Kucherenko y coautores [16] [17]
Anargyros Papageorgiou, que desarrolló una versión mejorada del sistema de software FinDer, llevó a cabo más pruebas del CMO [14] . Los nuevos resultados incluyen lo siguiente:
- Pequeño número de puntos de muestra: para el tramo de CMO más difícil, QMC utilizando el LDS de Faure generalizado debido a S. Tezuka [18] logra precisióncon solo 170 puntos. MC requiere 2700 puntos para la misma precisión. La importancia de esto es que debido a que se desconocen las tasas de interés futuras y las tasas de pago anticipado, las empresas financieras se contentan con la precisión de.
- Gran número de puntos de muestra: la ventaja de QMC sobre MC se amplifica aún más a medida que aumentan las demandas de precisión y tamaño de la muestra. En particular, QMC es de 20 a 50 veces más rápido que MC con tamaños de muestra moderados, y puede ser hasta 1000 veces más rápido que MC [14] cuando se desea QMC de alta precisión.
Actualmente, la dimensión más alta reportada para la cual QMC supera a MC es 65536. [19] El software es el generador de secuencias SobolSeq65536 de Sobol que genera secuencias de Sobol que satisfacen la propiedad A para todas las dimensiones y la propiedad A para las dimensiones adyacentes. Los generadores SobolSeq superan a todos los demás generadores conocidos tanto en velocidad como en precisión [20]
Explicaciones teóricas
Los resultados reportados hasta ahora en este artículo son empíricos. Se han propuesto varias posibles explicaciones teóricas. Esta ha sido un área muy rica en investigación que ha conducido a nuevos y poderosos conceptos, pero no se ha obtenido una respuesta definitiva.
Una posible explicación de por qué QMC es bueno para las finanzas es la siguiente. Considere un tramo de la OCM mencionado anteriormente. La integral da los flujos de efectivo futuros esperados de una canasta de hipotecas a 30 años en intervalos de 360 meses. Debido al valor descontado del dinero, las variables que representan tiempos futuros son cada vez menos importantes. En un artículo fundamental, I. Sloan y H. Woźniakowski [21] introdujeron la idea de espacios ponderados. En estos espacios la dependencia de las sucesivas variables puede ser moderada por ponderaciones. Si los pesos disminuyen lo suficientemente rápido, la maldición de la dimensionalidad se rompe incluso con la garantía del peor de los casos. Este documento dio lugar a una gran cantidad de trabajo sobre la manejabilidad de la integración y otros problemas. [22] Un problema es manejable cuando su complejidad es de orden. y es independiente de la dimensión.
Por otro lado, Caflisch, Morokoff y Owen [23] propusieron la dimensión efectiva como un indicador de la dificultad de la integración de alta dimensión. El propósito era explicar el notable éxito de cuasi-Monte Carlo (QMC) en la aproximación de las integrales de muy alta dimensión en finanzas. Argumentaron que los integrandos son de baja dimensión efectiva y es por eso que QMC es mucho más rápido que Monte Carlo (MC). El impacto de los argumentos de Caflisch et al. [23] fue genial. Varios artículos tratan de la relación entre el error de QMC y la dimensión efectiva [24] . [16] [17] [25]
Se sabe que QMC falla para ciertas funciones que tienen una dimensión efectiva alta. [5] Sin embargo, una dimensión efectiva baja no es una condición necesaria para que QMC supere a MC y para que la integración de alta dimensión sea manejable. En 2005, Tezuka [26] exhibió una clase de funciones de variables, todas con dimensión efectiva máxima igual a . Para estas funciones, QMC es muy rápido ya que su tasa de convergencia es de orden, dónde es el número de evaluaciones de funciones.
Integrales isotrópicas
QMC también puede ser superior a MC y a otros métodos para problemas isotrópicos, es decir, problemas en los que todas las variables son igualmente importantes. Por ejemplo, Papageorgiou y Traub [27] informaron los resultados de las pruebas sobre los problemas de integración del modelo sugeridos por el físico BD Keister [28].
dónde denota la norma euclidiana y . Keister informa que utilizando un método numérico estándar se necesitaron unos 220.000 puntos para obtener un error relativo del orden de. Un cálculo de QMC que utiliza la secuencia de discrepancia baja de Faure generalizada [18] (QMC-GF) utilizó sólo 500 puntos para obtener el mismo error relativo. La misma integral se probó para un rango de valores de hasta . Su error fue
, dónde es el número de evaluaciones de . Esto puede compararse con el método MC cuyo error fue proporcional a.
Estos son resultados empíricos. En una investigación teórica, Papageorgiou [29] demostró que la tasa de convergencia de QMC para una clase de-integrales isotrópicas dimensionales que incluye la integral definida anteriormente es del orden
Esto es con una garantía del peor de los casos en comparación con la tasa de convergencia esperada de de Monte Carlo y muestra la superioridad de QMC para este tipo de integral.
En otra investigación teórica, Papageorgiou [30] presentó condiciones suficientes para una rápida convergencia QMC. Las condiciones se aplican a problemas isotrópicos y no isotrópicos y, en particular, a una serie de problemas de finanzas computacionales. Presentó clases de funciones donde incluso en el peor de los casos, la tasa de convergencia de QMC es de orden
dónde es una constante que depende de la clase de funciones.
Pero esta es solo una condición suficiente y deja abierta la pregunta principal que planteamos en la siguiente sección.
Preguntas abiertas
- Caracterizar para qué problemas de integración de alta dimensión QMC es superior a MC.
- Caracterizar los tipos de instrumentos financieros para los que QMC es superior a MC.
Ver también
- Métodos de Monte Carlo en finanzas
- Simulación histórica (finanzas)
Recursos
Libros
- Bruno Dupire (1998). Monte Carlo: metodologías y aplicaciones para la tarificación y la gestión de riesgos . Riesgo. ISBN 1-899332-91-X.
- Paul Glasserman (2003). Métodos de Monte Carlo en ingeniería financiera . Springer-Verlag . ISBN 0-387-00451-3.
- Peter Jaeckel (2002). Métodos de Monte Carlo en finanzas . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-49741-X.
- Don L. McLeish (2005). Simulación y finanzas de Montecarlo . ISBN 0-471-67778-7.
- Christian P. Robert, George Casella (2004). Métodos estadísticos de Monte Carlo . ISBN 0-387-21239-6.
Modelos
- Hojas de cálculo disponibles para descargar , Prof. Marco Dias, PUC-Rio
Referencias
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