En geometría algebraica , un morfismoentre esquemas se dice que es cuasi-compacto si Y puede ser cubierto por subesquemas afines abiertos tal que las preimágenes son cuasi-compactos (como espacio topológico). [1] Si f es cuasi-compacto, entonces la imagen previa de un subesquema abierto cuasi-compacto (por ejemplo, subesquema afín abierto) bajo f es cuasi-compacto.
No es suficiente que Y admita una cobertura mediante subesquemas abiertos cuasi compactos cuyas preimágenes son cuasi compactas. Para dar un ejemplo, [2] sea A un anillo que no satisface las condiciones de la cadena ascendente en ideales radicales, y ponga. X contiene un subconjunto abierto U que no es cuasi-compacto. Deje que Y sea el esquema obtenido por pegado dos X' s a lo largo de U . X , Y son ambos casi compactos. Sies la inclusión de una de las copias de X , entonces la imagen previa de la otra X , afín abierta en Y , es U , no cuasi-compacta. Por tanto, f no es cuasi-compacto.
Un morfismo de un esquema cuasi-compacto a un esquema afín es cuasi-compacto.
Dejar ser un morfismo cuasi-compacto entre esquemas. Luego se cierra si y solo si es estable bajo especialización.
La composición de morfismos cuasi-compactos es cuasi-compacta. El cambio de base de un morfismo cuasi-compacto es cuasi-compacto.
Un esquema afín es casi compacto. De hecho, un esquema es cuasi-compacto si y solo si es una unión finita de subesquemas afines abiertos. El criterio de Serre da una condición necesaria y suficiente para que un esquema cuasi compacto sea afín.
Un esquema cuasi-compacto tiene al menos un punto cerrado. [3]
Ver también
Referencias
- ^ Esta es la definición en Hartshorne.
- ^ Comentario 1.5 en Vistoli
- ^ Schwede, Karl (2005), "Esquemas de encolado y un esquema sin puntos cerrados" , Avances recientes en geometría aritmética y algebraica , Contemp. Math., 386 , Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, págs. 157-172, doi : 10.1090 / conm / 386/07222 , MR 2182775. Ver en particular la Proposición 4.1.
- Hartshorne, geometría algebraica .
- Angelo Vistoli, "Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías de fibras y teoría de la descendencia". arXiv : matemáticas / 0412512