En álgebra , un polinomio multivariado
es cuasi homogéneo u homogéneo ponderado , si existen r enteros, llamados pesos de las variables, de modo que la sumaes el mismo para todos los términos distintos de cero de f . Esta suma w es el peso o el grado del polinomio.
El término cuasi homogéneo proviene del hecho de que un polinomio f es cuasi homogéneo si y solo si
para cada en cualquier campo que contenga los coeficientes.
Un polinomio es casi homogéneo con pesos si y solo si
es un polinomio homogéneo en el. En particular, un polinomio homogéneo es siempre casi homogéneo, con todos los pesos iguales a 1.
Un polinomio es cuasi homogéneo si y solo si todos los pertenecen al mismo hiperplano afín . Como el politopo de Newton del polinomio es el casco convexo del conjunto los polinomios cuasi homogéneos también pueden definirse como los polinomios que tienen un politopo de Newton degenerado (aquí "degenerado" significa "contenido en algún hiperplano afín").
Considere el polinomio , que no es homogéneo. Sin embargo, si en lugar de considerar usamos el par para probar la homogeneidad, entonces
Nosotros decimos eso es un polinomio cuasi homogéneo de tipo (3,1) , porque sus tres pares ( i 1 , i 2 ) de exponentes (3,3) , (1,9) y (0,12) satisfacen la ecuación lineal. En particular, esto dice que el politopo de Newton de se encuentra en el espacio afín con la ecuación adentro .
La ecuación anterior es equivalente a esta nueva: . Algunos autores [1] prefieren utilizar esta última condición y prefieren decir que nuestro polinomio es cuasi-homogéneo de tipo.
Como se señaló anteriormente, un polinomio homogéneo de grado d es solo un polinomio cuasi homogéneo de tipo (1,1) ; en este caso todos sus pares de exponentes satisfarán la ecuación.
Dejar ser un polinomio en r variablescon coeficientes en un anillo conmutativo R . Lo expresamos como una suma finita
Decimos que f es casi homogéneo de tipo , , si existe alguna tal que
cuando sea .